初中生数学练习中的错题成因及处理策略的研究报告
东方红学校课题组 胡旺来
前 言
１. 课题的确立
在初中数学的教学实践中，解答习题，错误常难避免，发生错误和改正错误贯穿于整个教学过程.为什么错？错在哪里？如何解决这一问题？这就需要我们找出产出错误的原因，研究纠正和避免错误的方法，从而吸取有益的教训，加深基础知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力.基于以上目的，我们计划开展初中生数学练习中的错题成因及处理策略的研究.
２. 课题研究的背景及方向
现代学习理论认为，知识是人对客观世界的认识，是客观世界在人头脑中的主观反映，人的学习是一个客观世界与主观经验世界相互作用建立映射关系的过程.而在这个过程中建立的映射关系的集合就是我们所说的人的知识架构，那么，这个映射关系建立的过程就具有了四个基本特性：
一是鲜明的个人经验色彩；
二是强烈的主观能动性；
三是具有自主建构性；
四是映射关系的建立具有实践.认识、再实践、再认识的循环往复性.
因此，新课程标准要求我们在初中数学教学活动中，教师应注意激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中获得广泛的数学活动经验，从而真正理解和掌握数学的知识、技能、思想和方法.
长期以来，许多数学教育工作者只是从认知角度出发，将数学学习看成是一个由感知、注意、记忆、理解等构成的认知过程，在教学实践中教师反复讲解，学生被动接受，在这样的学习中学生逐渐失去了自主学习，自由思考的意识和能力，所学的知识大多属于惰性知识（必须经刻意提醒才能回忆起来的知识）.然而，数学学习是一个认识规则、掌握规则、运用规则的学习过程.要使得学生的数学学习与应用能力真正得到培养和发展，就必须使学生具备自主学习的意识，具有独立从事学习活动的机会和自由思考的空间.
从心理学角度看，初中生年龄阶段的心理发展具有明显的过渡性，在这个阶段，学生开始从依赖走向独立，从他律走向自律，是独立性，自信心，自我监控和调节能力等心理品质的养成时期，可塑性强.
因此，我们认为在初中数学教学中，从初始年级开始，结合学生的个性学习心理品质的发展，利用学生身边最常见的素材——错题，进行分析和整理找出错题成因，结合对个性心理品质的分析，学生自我反思，制定处理策略，开展主动针对性的训练，是达到改善学生个性学习心理品质，提高学生在学习过程中的自我反馈、矫正能力，形成良好的学习自我调整系统，促进学生学习能力充分发展，真正达到“减负增效”的有效方法.
正是基于这样的认识，我们提出了《初中生数学练习中的错题成因及处理策略的研究》这一微型课题.所谓“错题成因分析”，就是在初中数学学习中，让学生对于自己做题过程中产生的错误进行分析、判断与整理；所谓“处理策略”，就是让学生在“错题分析”的基础上，通过学生自主配置与自己的错题相匹配的练习，在对这些问题的解决过程中达到自我反馈、自我矫正、自我评价、提高学生数学学习能力的目的.
资料查阅表明，虽然国内外部分学校在数学教学中也有运用到“说错”、“改错”等，也有很多教师在教学实践中采用“错题整理”的方法，但基本都是作为某些主要内容中的一小部分而出现的，很少作为一个专项课题进行研究过，并且他们的实践还都仅仅停留在表层现象，即只是指导学生达到能通过发现自己的错误，然后进行一定的反思，争取以后不再犯类似的错误.但是这样的研究太浅层了，每个学生由于受到个性、能力等诸多因素的影响，所发生的错误会具有个体的特征性.因此，我们的研究致力于在学生分析、整理了自己的错误并进行反思的基础上，鼓励并指导学生针对自己的错误选择性地配置和完成相应的练习，针对性地对学生的认知障碍和缺陷进行处理，达到改善学生的个性学习品质，提高数学学习与应用能力.
３. 课题研究的内容
初中生数学错题涉及到的知识点比较多，为了提高研究的质量和实效性，我们选择了新人教版数学七年级上、下两册的内容.
首先，我们进行数学错题的收集、分类、筛选和易犯错的数学知识点的统计；
其次，从数学知识、数学教育学、教育心理学等方面（如：认知结构、知识经验、技能、态度等），对七年级学生的各典型错误进行分析后，找出数学错题形成的原因；
最后，根据典型错误成因的分析结果，分别对学生在学习过程中、教师在实际教学中提出提出各种解决问题的策略和错题整改的措施.
４. 课题研究的方法和措施
⑴行动研究法：按单元、章节记录收集学生每日课堂练习、作业本、课外资料（校本教材 “３+３”四步导学稿等）单元练习检测及专题中的错题.
⑵调查法：观察、记录学生在订正作业过程中表现出来的言行事实，分析概括教学现象，挖掘提炼教学经验，解读教学缺失.
⑶文献查阅法：主要是对当前作业批改、评价的研究水平、科研成果作出较为全面的收集整理和综述解读，为项目研究提供丰厚的资源支持.
为了开展好研究工作，具体研究方案流程如下图所示：
一、数学错题的收集与整理的方法和过程
研究错题，制作“错题集”是一项非常重要的工作.在这些错题的背后，往往是知识学习时所产生的知识漏洞.在本阶段我们进行了如何整理“错题集”的研究，在实验中总结出了以下的方法
(一)错题的来源
从我校的学生实际出发，通过研究整理发现，数学练习中的错题主要来源于以下几个方面：
１.每天的家庭作业中做错的题.虽然通过学生的作业练习可以很直观地收集到错题，但这些错题分布比较广，而且量大，学生们的错题多种多样，这样的习题整理起来要具有代表性，不能盲目收集.
２.在数学课堂中，学生在“３+３”四步导学稿上做错了练习题，这类题比较好收集，上面也有“质疑·复备”的环节，师生可以共同找到易错题，共同处理.
３.在学生的每次单元测试、期中测试及期末测试等中出现的错题.这类错题比较集中，教师也好控制，一般在出试卷的难度系数中就考虑进去了.
师生结合一年来的努力，共同完成错题的收集工作，这项工作是一个长期坚持不懈的过程，一定要保持可持续性，不能东拼西凑，要保证错题的全面性和完整性.
(二)错题的分类
为了更好的建立错题资源库，我们的错题是按照代数与几何两大板块完成的，其主要的分类章节顺序为：
第一章：有理数；第二章：整式的加减；第三章：一元一次方程；第四章：几何图形初步；第五章：相交线与平行线；第六章：实数；
第七章：平面直角坐标系；第八章：二元一次方程组；第九章：不等式与不等式组.
(三)错题的整理
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错题类型整理表
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错误的盲点类型
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题数
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百分率
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知识类因素
（知识能力层面、
知识结构性错误）
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一、完全没有能力做对的题
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1.概念不清类（似懂非懂）
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2.题型类（题目看不懂）
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3.应用能力类.
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4.知识点间的应用与综合题.
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小计
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二、模棱两可，
似是而非的题
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1.概念模糊类（找不到入手点）
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2.记忆模糊类
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小计
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非智力因素
（心理心态层面，
非知识结构性错误）
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三、会做的却做
错了的题
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1.顾此失彼类
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2.审题错误类
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小计
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四、应用策略类
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1.考试时间分配不合理
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2.舌尖现象
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3.克拉克现象
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4.应试怯场
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小计
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五、一般做数学练习题习惯类
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1.看错
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2.抄错
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3.算错
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4.写错
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5.想错
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6.跳跃
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7.没有按要求答题
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8.书写的规范性不够
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小计
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总计
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(四)制作错题本
学生若能从统计表中发现自己的出错类型及百分比，能够分门别类有条不紊地区别处理不同的问题，具有知识结构板块和框架意识，并以此制定和调整自己的学习目标，可以培养和提高自己的思维能力和分析归纳能力.为此，在这一年的研究过程中，我们师生共同根据教学实际，把具有代表的错题整理出来了，并装订成册，进行推广.(见附件错题库)
二、初中生数学练习中的错题成因分析
经过多方面对学生进行的错题收集、整理、统计和分析，发现学生在初中数学练习中出现错误原因是多方面的，归纳起来主要有以下几个方面：
(一) 心理方面原因
目前,不少学生在做数学练习时,常常会出现会而不对，或对而不简，或对而不快，表述不严密，不全面等现象.还常常听到一些教师或家长或学生本身在分析原因时说：“唉!这道题本来是会做的,就是因为粗心大意,所以做错了.”似乎一句“粗心大意”就可以为错误开脱.我们常说学生“粗心”，也经常听学生自己和家长说“粗心”.其实“粗心”大多是由学生感知、注意、思维、记忆、情感等因素造成的，主要表现在以下几个方面：
１.题目感知不正确
由于计算本身的外显形式简单，这样更容易造成学生感知粗略、笼统、不具体，再加上学生看题、读题、审题、演算过程中太过急于求成，因而导致所感知的表象模糊，致使把计算式题中的数字、符号抄错.如，把“＋”误作“－”，把“3”写成“5”,“B”写成“８”等等.
２.练习时注意力不集中
注意是指心理活动对一定事物的指向和集中.心理学研究表明，不善于分配注意力是学生注意的特征之一，要求他们在同一时间把注意分配到两个或两个以上的对象时，往往会出现顾此失彼等现象，从而造成计算的错误.如计算有理数的混合运算不是抄错数据，就是忘记颠倒计算顺序，或者去括号时，不注意括号前面的符号，而进行错误的书写.
３.短时记忆出错
记忆是学习的基础、知识的储存、积累和更新都要依赖于记忆，无论是口算还是笔算或估算都需要良好的短时记忆力做保证.一些学生由于短时记忆力发展较弱，导致计算错误.如一元一次方程计算的最后一步，系数化为１，学生经常把结果的分子分母颠倒，导致错误的产生，又如带分母的一元一次方程的计算，学生容易忘记去分母，而进行通分，增加了计算的复杂程度，也增加了计算的错误率.
4.强信息的干扰
强信息在大脑中留下的深刻印象，在遇到与强信息类似的新信息时原有的强信息痕迹便被激活，干扰正常思维活动，造成计算错误.如，×8是一个强信息，当学生计算式题，部分学生会不假思索地算成，“凑整”因素对学生产生了强烈刺激，使他们在计算时忽略了正确的运算顺序、计算法则，而导致计算出错.
5.思维定势的影响
思维定势是思维的一种“惯性”，指由于先前的活动而形成的一种心理准备状态，它使人以比较固定的方式去进行认知和做出行为反应.思维定势有积极作用，也有消极作用，如在计算二元一次方程的解的题目类型中，如果前面连续几题都求方程的整数解，那么下一题题目的非负整数解的要求就会被学生忽略掉，任然按照整数解进行计算，从而产生错误.
6.情绪不稳定
学生在计算时，总希望能很快算出结果.因此，当遇到计算题里的数据较大或算式较复杂时会产生排斥心理，表现的缺乏耐心和信心，不能认真地审题，没有耐心去选择合理算法，从而导致错误出现.有时因为老师和家长的误解，家长的批评，甚至打骂，使孩子心理受到严重的挫折，怀疑自己的能力，缺乏学习的信心，粗心的问题也会日趋严重.
7.个性和学习类型的不同
学生的气质类型和学习类型不是全部相同的，从而造成学习心理的不同．通常黏液质和抑郁质的孩子粗心要比多血质的孩子少，因此对多血质的孩子要多一份理解和宽容．老师和家长要正确判断孩子的气质类型和学习类型已能够及时的给予学生理解和帮助．
(二) 基础知识和基本技能方面的原因
学生顺利正确地完成解题，表明其在分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰.在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误.就初中学生解题错误而言，造成错误的干扰来自以下几方面：
１.审题类错误
主要表现有：不睬解题意，或审题不细心，忽略、遗漏了某些特殊、隐含条件，或受思维定势的影响，错误的理解题意进而使得解题失误.受此影响，学生在解答问题时常常出现混乱与错误.
例如：礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值.学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹.又如，学生在小学阶段形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的.在小学，学生对数之和不小于其中任何一个加数，即a+b≥a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a+b＜a也是可能的.也就是说，习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题错误.另外，“+”、“-”号长期作为加、减号使用，学生对于3-5+4-6，习惯上看作3减5加4减6，而初中更需要把上式看成正3负5正4负6之和.对习惯看法的印象越牢固，新的看法就越难牢固树立.
2.计算类错误
除粗心原因之外，常常是算理不清或选择方法不妥，这也是造成计算不准确或错误的直接原因.学生习惯于算术解法解应用题，这会对学生学习代数方法列方程解应用题产生干扰.
例如，在求两车相遇时间时（甲、乙两站间的路程为360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km，两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？），列出的“方程”为x=360÷48+72.由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹.而初中需要列出：48x+72x=360这样的方程，这表明学生对已知数和未知数之间的相等关系的把握程度.
３.初中数学知识点相互干扰
例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象.紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正 3与负7之和，“-”又成了负号.学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑.这个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误.又如，了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就有受等式两边可以乘以或除以任何一个数以及方程的解是一个数有关 .事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等式的内容.
４.片面的思考问题，导致结论不全面
学生在解答单一问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错.
例如：已知，则a的值是什么？很多学生会说是负数. 错解的原因是漏掉了“0”这个特殊数.因为当a＞0时；当a﹤0时；当a=0时， .
５.对于错题不善于纠正
有些学生在解题是同样的问题反复出现出错，原因是学生没有对出错的原因进行深入的分析并及时反思，而是单纯的就题改题，至于为什么错了，就不得而知了，导致对知识的理解是是而非，等到下次再碰到的此类问题的时候还是不会.
三、初中生数学练习中的错题订正情况调查分析
调查对象：东方红学校七年级100名学生
调查方式：随机抽样问卷调查
调查时间：2014年３月7日
数据总表：
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题号
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选 项
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①
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②
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③
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④
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1
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61
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32
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5
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2
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2
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82
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18
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0
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0
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3
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13
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83
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2
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2
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4
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16
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70
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13
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1
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5
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63
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35
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2
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0
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6
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20
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21
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0
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59
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7
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16
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50
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33
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1
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8
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55
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37
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6
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2
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9
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54
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42
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2
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2
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10
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63
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29
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4
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4
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调查结果表明：
１.从教师的层面而言，强调了数学错题订正的重要性，深入人心，在实际的教学中很重视错题处理，特别是讲习题课时，重点也是放在错题的讲解上，其主要方法是讲授法，通常学生是被动接受知识，很少从学生的自主学习出发.
２. 从学生的层面而言，我校本年级的学生纠错意识比较强.但订正错题的方式方法有待提升，绝大部分是盲目地仿效教师的做法，没有真正去研究错题.其次，学生不重视错题分析，订正错题很大层面上是为了应付教师的任务，有大部分学生敷衍了事，另外学生对自己的数学学习状态不自信，都认为自己有很大的提升空间，但没有下功夫把自己的学习成绩提上来.
四、初中生数学练习中的错题处理策略
不同类型错题产生的原因迥然不同，其解决的策略也各异，方法也有别.如果不加以区别对待的话，是不可能做到轻松学习，更谈不上学会学习和享受学习了.要根据错误的原因运用相应的对策，对症下药才能不断收获进步的果实.为了有效地纠正和预防学生继续犯错误.建议的做法有如下几方面：
(一)学生层面的做法
１.没有能力做对的题
这主要表现在智力因素培养方面，对于知识结构性错误，重做一遍二遍错题是十分必要的，这要视学生对错题的把握程度而定.这类错误是学生通过学习，建立自身知识体系时存在的漏洞，通过重做错题，并认真分析，把这个漏洞补上，就可以健全我们的知识结构体系，锻炼我们的思维能力，用较短的时间就可取得平时高效的收益.也能发现自己究竟是学习行为方面存在问题，还是某些思维方式需要加以调整.
⑴概念不清类：这类问题包括知识结构板块、知识点、基础知识（诸如具体的定理、公式、概念等等），容易压得人喘不过气来.处于不同学习层次的同学要根据自己的实际情况，加强训练和记忆，培养自己的宏观思维方式，因人而异地确定自己的学习目标、步骤和解决问题的方案，并且有效地进行目标时间管理.
⑵题型类：这类问题往往是未能掌握不同题型的解题思路或技巧；或处理问题的方式过于死板，虽然知道该题涉及到的知识点，但是却无从下手展开解题活动.其实无论是哪一类题型，都有其解题的一般思路和方法（共性），只要掌握住某一题型的答题要领，以及能够仔细区分某一特定试题的“个性”，就能顺利将题解出.加强训练，假以时日便能培养自己举一反三能力，增进解题的灵活性与变通力，并且随时都能够有所感悟，使自己的思维能力得到提高.
⑶能力应用类：这类问题往往是对知识点相关概念的理解较为浅
显，思维单一，知其然不知其所以然.当使用障眼法，把曾经解答过的题变换某些条件，移植一种情景时，就会产生似曾相识的感觉，不再细辨其中的异同，自然会被虚假条件搞昏头.究其原因主要还是对某些知识缺乏灵活运用，不能融会贯通，同时缺乏理论联系实际的探索精神.要针对试题涉及的知识点及内容认真地加以复习巩固，多观察和了解日常生活现象，做操作题时多与理论相联系，加强典型题与日常生活应用训练，多做试题分析.这样可以有效地培养和训练自己的发散思维能力、观察能力和逆向思维能力.
2.模棱两可的题
对于模棱两可,似是而非的错题，通过分析，可以发现是把公式给弄混淆了？还是把公式给用错了？是理解错了？还是记忆错了？通过训练可以有效地增进智力因素.
⑴概念模糊类：这类问题往往是一点就通，容易被人忽视.比如巧妙设置在题中的隐含条件、限制条件和关键词语等等这类问题，往往一点就破，一般会认为自己是弄懂了的，只是没有发现而已，实际上是概念模糊.有的则是自身知识结构体系脉络不清，以致给出错误答案.加强概念和基础知识的训练和巩固，多做典型题型是解决这类错误的方法之一.
⑵记忆模糊类：这类问题主要是对概念和原理等的理解过于浅显，或记得不牢，或只知其一，不知其二，当问题交织在一起时，便分辨不清，导致答题时似是而非.当问题成堆时，面对题海便会显得迷茫、不知所措、甚至于无精打彩，以至于懈怠下去.攻克这类问题主要就是解决理解和记忆，并要拓展知识的运用.
３.屡次犯错的题
这主要表现在非智力因素培养方面，这类问题最容易被人忽视，常常会自以为是地认为下次注意就行了，自己是不会再犯这个错误的，然而，往往却事与愿违，不会发生的事竟然又一次发生了.所以，别对自己的错误太温柔，一定要找出问题所在，消灭这类问题.
(1)顾此失彼类：考题中涉及的知识点稍多一点，过程稍复杂一些，大脑就运转不过来，顾头不顾尾.这主要缘于典型题做得不够，做得不精，做题的难度系数也较低，并对教材中的观点、基本原理和基本概念等理解得不深不透.
(2)审题错误类：还没看清条件就急忙解题，可能是观察得不够仔细，判断得不够准确，也可能是考试策略不当，或是心理心态不稳，还可能是缘于外界的干扰刺激，更有可能是平时练习不到位，仅仅是为了完成作业而作业，或做题缺乏针对性，成天盲目做题，忽略了做完题后的反思环节，以及平时就缺乏慢审题快解题的训练.要养成“袖手于前疾书在后”的答题风格，以及做完题后进行回顾和总结的习惯，这对增强自己的审题能力极有好处.
４.非知识结构性错误
这主要表现在非智力因素培养方面，由于马虎出错导致丢分是一个普遍存在的现象，于是大家往往就变得心安理得，还会阿Ｑ式原谅自己：“这些题我都会做，就是粗心没考好，否则就是满分了，我今后要注意克服.”能克服吗？未必！因为粗心不是一种行为，马虎也不是一种行为，要改还得从行为入手，平时要加强行为习惯的训练.学习中常见的粗心或马虎行为主要有以下几种.
⑴看错：看错题这种行为产生的原因主要与人的瞬时记忆有关.有的人视觉成像反应稍慢（他的学习类型可能不属于视觉类型），而他又看得快，前面的信息在大脑中还未形成稳定的状态时，后面的信息又进来了，于是导致把题看错，解决这一行为就是放慢看题速度，也就是俗话所说的“看仔细点”.有的人则可能是与自身的短时记忆容量有关，人的短时记忆容量为7±2，如果一个人的短时记忆容量为5，即他一次瞬间只能记住5个单词或数字之类的东西，当他想一次瞬间记住7个时，就会出现记忆错误，从而就会发生看错了的现象，解决这一看错行为可以通过平时训练来达到，最简单的办法是在上学或放学的路上用瞥一眼方式去记路边的汽车牌照，也可以运用瞥一眼的方式去记一组数字或符号或英语单词，以提高自己的短时记忆容量，增强记忆力.
⑵抄错：普遍把草稿纸上的正确答案抄到答卷上出错或抄漏是最冤枉的一种丢分.这一抄错行为的产生除了与瞬时记忆有关外，还与人的过忆过程有关，抄写包括记（看）和忆（写）两个过程，你可能没有看错，但你却写错了，为什么呢？因为人们在回忆时，总是会把后面位置的字与前面位置的字颠倒，在你说话或背诵时也会出现这种前后位置颠倒的情况.解决这一行为的办法就是进行大量的快速抄写行为训练，提高大脑的纠错能力.另一个原因还与人的记忆缓存有关，举个例来说，有的人可以在别人念下一句时，继续写完上一句，有的人却比较困难，这也需要通过经常的听写行为训练来加以解决.
⑶算错：计算时出错.这主要反映出平时的练习少了，没有养成自动化答题技能，没有形成稳固的肌肉记忆方式.大家知道骑自行车不倒，靠的就是肌肉记忆反应，在急刹车时，靠的也是肌肉记忆反应，如果要等到大脑来指挥的话，车祸就已经发生了.肌肉记忆方式可以有效地减轻我们大脑的负担，让我们的大脑去想更加复杂的问题.也有可能是我们平时在草稿纸上演算就不注意整洁，乱七八糟，缺乏规范化的训练，于是算错也就成了一件“很正常”的事了.
⑷写错（书写出错）：比如，明明是大于号却偏偏写成了小于号，此外还有正负号、小数点、字、词或字母、符号等等的书写出错，这就需要首先从心理上、从思想意识上看清符号（比如：正负号）的有无，准确地记住小数点的位置；另一原因是肌肉记忆出现偏差，解决这一书写出错行为可以采用双人训练的方法，一人快速念，一人快速写，加强肌肉记忆训练.
⑸想错：一个原因是知识掌握得不牢，相似知识点之间发生了混淆，出现判断失误；另一个原因属于想当然失误，即没有注意到题型的条件已经发生了改变，从而落入了出题人设下的陷阱.遇到这样的错误时，一定要冷静，不要轻易下结论，要结合题意和知识点，全方位考虑答题策略.
⑹跳跃：以为自己明白了，或害怕答题速度跟不上，不写出相关步骤，结果发生了错误.首先是要符合答题规范，其次是你明白了，老师不明白，所以关键信息绝对不能跳跃，尤其是在考试中。
⑺没有按要求答题\⑻书写的规范性不够：这两类错误纯属答题的习惯问题，一方面要求学生从小就要培养良好的答题习惯，另一方面，教师在实际的教学过程中加强训练，严格要求.
(二)教师层面的做法
教学中教师也有需要提高的地方，作为一名数学教师，在平时的数学教学中为了降低学生的出错率，提高学生正确解题的能力，可以从以下几点有针对性的去尝试教学，观察是否较以前的教学有所收获.
１.加强学生在学习过程中主体地位的认识.
教师要通过不断地理论学习，明确在新课改宗旨下自己的职责.教师要从数学课堂单一的数学知识传受者的角色，逐步向数学学习活动的组织者、引导者、合作者转换.要蹲下身来看学生，用学生的眼光看世界，和他们一起探讨、思考数学问题，使得教师的教和学生的学真正走向和谐统一.
在新课改的要求下学生在校学数学的目的更重要的是获得自己去探索数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得对客观事实尊重的理性精神和对科学执着追求的态度，因此，作为数学学习活动的组织者、引导者、合作者的教师应该引导或帮助学生完成观察、实验、猜想、收集整理、思考、推理与应用等丰富多彩的学习过程.使学生明确自己是学习主体的观念.
２.指导学生掌握科学的学习方法
在教学中发现一些学生学习并不是不认真，而是学习方式方法不当，使其学习效率低，以至于丧失学习的信心.因此应重视学生的学习方法的指导，比如我在七年级数学教学的过程中会指导学生一些常规实用的学习方法“三步曲”：
第一步，上课前先预习：
前一天将第二天要学习的内容先看一遍，在看的过程中标注出有疑问的部分，然后再做一下相应的练习来检查自己的预习情况，最后再带着在看书过程中不明白的地方，做习题时遇到的问题来听课.
第二步，上好一节新课：
首先在上课前利用课间的休息时间把自己放松一下，保持一个最佳的状态去听讲.其次，在课堂上，把自己不理解的地方和老师的讲解紧密的结合起来，并积极思考老师提出的问题.最后，根据老师讲解的重点在课本或者笔记本上作好相应的课堂笔记，便于课后自己复习时使用.
第三步，课后复习巩固
首先，做作业前将本节新课的内容回顾一遍，看看是否还有没掌握的知识点或者不会应用的知识点.然后，根据作业或者练习的完成质量检验上课的课堂听讲效率.
在数学解题的技巧中传授给学生一个解题“四步曲”——“审、想、解、查”.
(1)弄清问题，也就是审题.
(2)解题前三想：审题后，就要拟定解题方案，展开“回想、联想、猜想”，初步构想解题思路，确定解题方向.
(3)解题表述要规范.
(4)检查、验算不可忽视.
３.培养学生良好的学习习惯.
对于学生的不良习惯，教师应该从学生在七年级开始学习时就要提出严格要求，防患于然.
首先要培养学生认真审题的习惯.
认真审题就是看清题目的要求，弄清题目的计算理论、运算顺序.解题时，部分学生注意力不集中，马马虎虎，不能集中精力进行审题、运算，不是少了条件，就是丢了单位，这是导致学生“会算而算不对”的原因.审题时只要认真、仔细，排除外界干扰，注意力专注于解题，错误率就会大大降低.初中生的自知力、自控力普遍较差，还没有形成好的思维习惯，所以，在平时的教学中要强化学生养成认真仔细的习惯.反复强调仔细审题、仔细解答.使学生形成良好的思维状态，养成严谨周密的思考习惯，养成步步有根据的习惯，这样可以解决“条件看错而出错”的问题.
其次，培养学生检查、验算的习惯.
在平时的教学中要求学生做作业时集中注意力，书写整齐清晰，题目抄写后要复查一遍，看数字和运算符号有没有抄错.此外，还要求学生在草稿纸上计算时应有顺序地进行书写、书写要清晰，这有利于检查时的寻找.运算后应该认真验算等等.像一元一次方程和二元一次方程组都可以把解得的答案带入原方程（方程组）进行检验.学生在养成良好的检查、验算习惯后，计算的准确性就能大大提高.
五、课题研究的总结与分析
本课题立项后，我们课题小组便已经开展了一系列的相关研究.现将一年以来的相关情况作如下小结：
依据领导和专家的建议和实际情况，我们将研究的范围缩小为人教版数学课程的七年级上下两册，一学年过去了，这段时间我们主要研究的错题范围涉及：有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形初步、相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组和不等式与不等式组.
按照课题的进展，我们主要从以下几个方面实施的：
收集错题——整理错题——分析错题——解决策略——资源库.
通过研究，我们认为：
1.在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景，不同的表达方式和参差不齐的思维水平，出错在所难免.让学生在辨析错误的同时激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对数学知识本质的理解的目的.特别像我们东方红学校，地处油田与潜江的城乡结合部，学生知识水平差异大，研究错题很有必要.
２.在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的，而练习过程中发生的错误并非是一文不值的，它往往反映了学生的思维能力，反映了学生的真实想法，这其中总会包含着合理的成分.教师应该善于巧用错误，善于发现错误背后隐藏的教育价值，引领学生从错中找出合理的一面，从错中找出与正确方法之间的联系，把“错误”资源巧妙地予以运用，不仅能让学生尽快走出误区，并能激发学生的创新思维.
3.为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误以及错误产生的原因，矫正的对策进行搜集、整理、记录.可以通过多种形式进行对比练习，让学生辨析提高.而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成记纠错日记的习惯.
研究的不足之处和期望：
我们课题组第一次接触到微型课题，不好把握度，并且，我们的研究成员大都是第一次开展课题研究，青年教师的理论知识积累还不是很充足.另外，在错题的收集与整理的过程中，虽然我们做了大量的工作，但是日常的教学任务都比较重，可能会存在不全的情况，由于我们的研究范围是七年级，虽然课题结题了，八年级与九年级的数学内容还是很有潜力可挖的.作为一线教师，我们不要因为课题的结束就放弃研究了，路漫漫其修远兮，希望后面的内容能得以继续完成下去.
解一元一次方程易错题案例分析
东方红学校课题组 邓 露
一元一次方程的解法
重点：等式的性质，同类项的概念及正确合并同类项，各种情形的一元一次方程的解法；
难点：准确运用等式的性质进行方程同解变形(即进行移项，去分母，去括号，系数化1等步骤的符号问题，遗漏问题)；
学习要点评述：对初学的同学来讲，解一元一次方程的方法很容易掌握，每个题都感觉会做，但就是不能保证全对.从而在学习时一方面要反复关注方程变形的法则依据，用法则指导变形步骤，另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷.下面列举三个案例进行分析总结.
【案例1】 解方程：4x-3（4-x）=2；
学生错误呈现：
生1： 4x-12-3x=2
x=14
生2： 4x-12+x=2
5x=14
生3： 4x-12-x=2
3x=14
x=
错因分析：生1去括号时有一项没有变号.对去括号法则不熟悉.生2去括号时漏乘了一项，乘法分配律掌握不熟.生3去括号时既没有变号还漏乘了一项.
教师的实施策略：括号前面是“-”号时，括号内的各项的符号都要变.括号前面有系数时，去括号不漏乘每一项.
【案例2】 解方程：
学生错误呈现：
生1：
生2：
生3
错因分析：生1在去分母时，第二项没有添括号；生2在去分母时，方程右边漏乘了最小公分母2.生3在去分母时，同时犯了生1和生2的错误，系数化1时，除数和被除数位置颠倒.
教师的实施措施：去分母时，首先要注意要乘以方程两边的每一项，不能有分母的乘，没有分母的就忘记乘.去分母后，分子是多项式时，特别前面是“-”号时，应添括号，再去括号，以免发生符号错误.系数化1时，系数应做分母.
【案例3】解方程：
学生错误呈现：
生1： 生２：
生3：
错因分析：生1把小数化为整数时，分子中x系数没有扩大10倍；生2把分数性质与等式性质混淆；生3同时犯了生1和生2的错误.
教师的实施措施：这是一道分母含有小数的一元一次方程，首先要考虑把小数化为整数，其依据就是分数性质“分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变”.这种变形只保证分数同质变形，千万不要与等式性质2搞混.
总结：解一元一次方程的一般步骤、具体做法及注意事项：
典 型 错 题 汇 编
第一章 有理数
东方红学校课题组 邓 露 邹成霞
一、选择题
１.下列说法正确的是（ ）
A．一个整数不是正整数，就是负整数
B．一个有理数不是正数，就是负数
C．非正数是指负数
D．不是有理数
错解：A或B或C
误区分析：整数包括正整数，0，负整数，A说法中漏了0，故A错.有理数包括正有理数和负有理数，0，也漏了0，所以B错.非正数包括负数和0，所以C错.是无限不循环小数，所以不是分数，也不是有理数.
正解：D
2.下列语句：⑴数轴上的点只能表示整数. ⑵数轴是一条线段. ⑶ 数轴上的一个点只能表示一个数. ⑷数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点.⑸ 数轴上的点所表示的数都是有理数. 其中正确的是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D 4.个
错解：B或C或D
误区分析：结合数轴上的点与有理数的关系来分析判断：⑴⑵是错误的. ⑶是正确的⑷既不是正数，又不是负数的数是0，0在数轴上用原点表示.⑸应该是所有的有理数都可以在数轴上找到相应的点，但并非数轴上的点都表示有理数，这一点易误解.
正解：A
3.已知a =-5,,则b的值等于（ ）
A. 5 B.-5 C. 0 D. ±5
错解：B
误区分析：上述错解的原因是错误的认为由推出的结果是a=b.事实上由，可得到b=±a .
正解：D
4.已知，则a的值是（ ）
A.正数 B.负数 C.非正数 D. 非负数
错解：B
误区分析：错解的原因是漏掉了“0”这个特殊数.因为当a＞0时；当a﹤0时；当a=0时， .
正解：C
5.两个有理数相加，其和（ ）
A.一定大于其中一个加数 B.不可能是0
C.可以是正数，负数或0 D.只可能是整数和0
错解：B
误区分析：错解的原因是小学学习造成了思维定势和对有理数加法法则理解不透彻，数的范围扩大到有理数后，当两个加数都是负数或其中一个是0时，两个数的和不一定大于没一个加数.
正解：C
6.某市2012年财政收入已突破500亿元大关，用科学记数法可表示为（ ）A.元 B.元 C.元 D.元
错解：B或C或D
误区分析：对a的取值范围不熟练，应由原数化成带一位整数的a；定n，由原数带n位正数部分定.
正解：A
二、填空题
1.如果规定向东走30米记为+30，那么-20表示（ ）
错解：向西走-20米
误区分析：没有正确理解负数的意义. 注意:数前的“+”“-”表示方向“相同”或“相反”，“20”表示走的距离.错解中既将“-”翻译成“向西”，又将“-”抄写了下来，导致错误.
正解：向西走20米
2.绝对值等于本身的数是（ ），绝对值大于1且小于5的所有整数是（ ）
错解：正数 2，3，4
误区分析：对概念认识模糊以及小学学习造成了思维定势.
正解：非负数 ±2，±3，±4
三、解答题
1.计算
错解：原式=
=
=
误区分析：错解主要是没有利用运算律，使得计算复杂，导致错误.
正解：原式= +
= 1+（—1）+0
= 0
2.计算
错解：原式=
=
=
误区分析：错解是随意省略运算符号.将减法统一成加法时，需慎重对待符号的变化.
正解：原式=
= -7-3
= - 10
3.计算
错解1：原式=
= 20-24
= -58
错解2：原式=
=-14+20+1
= 7
误区分析：错解1 计算过程出现符号错误，错解2 漏乘.
正解：原式=
= -14+20+24
=30
4．计算
错解：原式=
= -1+
=
误区分析：错解原因，除法没有分配律.
正解：原式=
=
= -3
5.计算
错解：原式=
=8
= 24
误区分析：在计算时，误认为 =.
正解：原式=
= -8
第二章 整式的加减
一、选择题.
１.下列各组单项式中是同类项的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D. a与c
错解：A或B或D
误区分析：对同类项概念不熟练.A中虽所含字母相同，但a的指数不同；B也是相同字母的指数不相同；D所含字母不相同.
正解：C
２.多项式的次数及最高次项的系数分别是（ ）
A. 2，1 B. 2，-1 C. 3，-1 D. 5，-1
错解：A或B或D
误区分析：对多项式的次数概念模糊.多项式的次数是多项式中最高次项的次数，即的次数.
正解：C
二、填空题
１.单项式的系数是 ，次数是 .
错解：系数-3，次数3+1+5=9
误区分析：误把的指数3当作是单项式的次数，实际上是一个具体的数，是单项式的系数.
正解：系数，次数 6
2.多项式的各项系数之和为 .
错解：3+2+5+2=12
误区分析：漏掉了的负号.
正解：3-2-5+2=-2
3.是 次 项式，三项式是
错解：六次三项式，三次项是
误区分析：误将所有字母的指数和作为多项式的次数，且把的符号漏掉了.
正解：三次三项式，三次项是
三、解答题
1．化简多项式
错解：原式=
=
误区分析:去括号时只改变项的符号，而没有改变x项的符号.
正解：原式=
=
2.已知一个多项式与的和等于，求这个多项式.
错解：
误区分析：本题实质是要求这两个多项式的差，列算式时没有用括号把两个多项式括起来而导致错误.
第三章 一元一次方程
一、对数学概念认识模糊而出现列式错误.
1.下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
错解: C 正解: B
错因分析: 判断一元一次方程的三个条件：1.只含一个未知数；2.未知数指数是1；3.等号两边都是整式，C项左边不是整式是分式.由条件3得C项不是一元一次方程.
2.已知(m-4)x|m|-3=18是关于x的一元一次方程，则（ ）
A. m=4 B. m=-4 C. m=±4 D. m=1
错解: C 正解: B
错因分析:判断一元一次方程的三个条件：1.只含一个未知数；2.未知数指数是1；3.未知数系数不为0.由条件2得：|m|−3＝1，解得m=±4.由条件3得必须m−4≠0，即m≠4，所以应将m=4舍去.
3.下列等式根据等式的性质变形正确的有（ ）
①若a=b，则ac=bc；②若ac=bc，则a=b；③若a=b，则；④若，则a=b；⑤若a=b，则.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
错解:B或D 正解:C
错因分析:对等式的性质二理解不够，特别是保证除以同一个不为0的数.
①做的变形是等式两边同乘以了c，满足等式的性质2，故正确；
②做的变形是等式两边同除以了c，但无法保证c不为0，故错误；
③同②，故错误；
④同①，故正确；
⑤做的变形是等式两边同除以了，而恒大于0，故正确.
二、在解一元一次方程时，不能按步骤正确变形.
4.解方程：4x-3（4-x）=2；
错解: 4x-12-x=2
3x=14
x=
错因分析:去括号时漏乘了一项，同时括号前面是“-”号，括号内的各项的符号都要变.对去括号法则不熟悉.
正解 4x-12+3x=2
7x=14
x=2
5.解方程：
错解:
错因分析:在去分母时，方程两边应同乘以2，要注意要乘以方程两边的每一项，不能有分母的乘，没有分母的就忘记乘.
正解：
6. 解方程：
错解:
错因分析:这是一道分母含有小数的一元一次方程，首先要考虑把小数化为整数，其依据就是分数性质“分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变”.这种变形只保证分数同质变形，千万不要与等式性质二搞混.
正解:
三、解应用题时，读题、审题不畅通，不能准确找出等量关系；列方程时，忽略单位统一.
7.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由．
错解: 能够求出火车长度.设火车长度为x m，依题意得，解得x=150.
答：火车长150m.
错因分析: 抓对了等量关系：“匀速行驶”，即火车对于灯光的速度=火车穿越隧道的速度，但错误理解了穿越隧道的路程，其路程应为：车头进入隧道口到车尾离开另一隧道口，即火车长+隧道长.
正解: 设火车长度为x m，依题意得，解得x=300
答：火车长300m.
8. 某道路一侧原有路灯106盏，相邻两灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）
A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏
错解: A
错因分析:抓对了等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，但是忽略了106盏灯只有105段距离，x盏灯只有（x-1）段距离.
正解:B
解：设需更换的新型节能灯有x盏，则
70×（x-1）=36×（106-1），
70x=3850，
x=55，
则需更换的新型节能灯有55盏．
故选B．
9.销售某件商品可获利30元，若打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是 元．
错解: 200
错因分析: 对于原售价，新售价，进价之间的关系混淆不清.本题的等量关系为：原售价的9折=新售价，而原售价=30+进价，新售价=30+进价-10．
正解: 70.解：设该商品的进价是x元，则（30+x）×0.9=30+x-10
解得x=70，则该商品的进价是70元．
10.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
错解:B或者D
错因分析:本题的等量关系为：平时的时间不变.比平时早到10分钟，应理解为比平时少用10分钟，要表示平时时间应该用所花时间+10分钟；比平时晚到5分钟，应理解为比平时多用了5分钟，要表示平时时间应用所花时间－5分钟；另外要注意单位的统一，把时间单位化为小时.
正解:A
11.两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ）
A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．盈利3元 D．不赢不亏
错解:A
错因分析:售价和成本之间关系不清.成本×（1±利润率）=售价.本题已知售价为84元，要求利润，必须先求出两件商品的成本价.设两件商品的成本价分别为x，y元，可列方程为（1-20％）x=84，（1+40％）y=84，解得x=105，y=60；则利润=总售价-总成本价=84×2-（105+60）=3元，故盈利3元.
正解: C
第四章 几何图形初步
1.如图，在直线AB上取两点P、Q，问图中有几条直线？几条射线？几条线段？
错解：2条直线；4条射线；3条线段.
错因分析：（1）一条直线可以用这条直线上的任意两个点来表示，与点的选择和点的顺序无关.因此图中只有一条直线；（2）射线是有一个端点，并向一方无限延展的；图中以点A为端点有两条射线，同样以P、Q、B点为端点的射线各有两条，因此共有8条射线，其中可以用字母表示出来的有6条；（3）线段有遗漏，以A为左端点的线段有线段AP,AQ,AB，同样以P、Q为左端点的线段分别有2条和1条，因此共有3+2+1=6条.一般来说，如果一条直线上有n个点，其中有线段（n-1）+（n-2）+……+3+2+1=条
正解：1条直线；8条射线；6条线段.
2.同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ）
A．1条 B．4条 C．6条 D．1条或4条或6条
错解：C
错因分析：没有全面分析平面上四点的位置特点.同一平面内的四个点，可以是在同一直线上，可以三点在一条直线上，也可以是任意三点不在同一条直线上.
解：根据题意可以分为三种情况：
①四点在同一直线上：则只能做一条直线；
②其中三点在同一直线上：如图
可以作出4条直线；
③任意三点都不在一条直线上：如图
即可作出6条．
综上可以得出可以为1条，可以是4条，可以是6条．
正解：D
3. 已知线段AB=5，C是直线AB上一点，BC=2，则线段AC长为（ ）
A.7 B.3 C.3或7 D.以上都不对
错解：B
错因分析：错以为C是线段AB上一点.C在直线AB上应分：在线段AB上或在线段AB延长线上两种情况讨论．
解：当点C在线段AB上时：AC=5-2=3；当C在AB的延长线上时：AC=5+2=7．
正解：C
4.下列四种说法：①因为AM=MB，所以M是AB中点；②在线段AM的延长线上取一点B，如果AB=2AM，那么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以AM=MB=AB；④因为A、M、B在同一条直线上，且AM=BM，所以M是AB中点，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．④ C．②③④ D．③④
错解：A
错因分析：本题考查了线段中点的判断，符合线段中点的条件：①在已知线段上②把已知线段分成两条相等线段的点．①选项不能保证满足A、B、M三点共线，如图，AM=BM，但M不是线段AB的中点；故本选项错误；
②如图，
由AB=2AM，得AM=MB；故本选项正确；
③根据线段中点的定义判断，故本选项正确；
④根据线段中点的定义判断，故本选项正确；
正解：C
5.下列说法：
（1）平角是一条直线；（2）射线是直线的一半；（3）射线AB与射线BA表示同一条射线；（4）用一个放大2倍的放大镜去看一个角，这个角会扩大2倍；（5）两点之间，线段最短；（6）120.5°=120°50′．其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
错解：C或D
错因分析：对基本概念模糊.根据角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，因此（1）错误；射线与直线都没有长度，因此（2）错误；射线AB与射线BA端点不同，因此（3）错误；角的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的角度有关，因此（4）错误；度、分、秒是常用的角的度量单位．
1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″，因此（6）错误，应该是120°30′.只有（5）正确.
正解：B
6.已知线段AB=20cm，PA+PB=30cm，下列说法正确的是（ ）
(A)点P不能在直线AB上
(B)点P只能在直线AB上
(C)点P只能在线段AB的延长线上
(D)点P不能在线段AB上
错解：A或C
错因分析：对P点所有存在的位置考虑不全面.应对P点的位置进行分类讨论，分点P在线段AB上，直线AB外，以及线段BA的延长线，线段AB的延长线上.
点P在线段AB上时，PA+PB=AB=20cm，
∵PA+PB=30cm，
∴点P不能在线段AB上；
点P在直线AB外，一定能找到AB=20cm，PA+PB=30cm的点P；
点P在线段BA的延长线上，如图1，若PA=5cm，则
PB=AB+PA=25cm，
所以，PA+PB=5+25=30cm；
点P在线段AB的延长线上，如图2，若PB=5cm，则
PA=AB+PB=20+5=25cm，
所以，PA+PB=25+5=30cm．
综上所述，点P可以在线段AB的延长线上，BA的延长线上，直线AB外，不能在线段AB上．
正解：D
7.以下四个语句中，正确的有（ ）
①如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点；
②两点之间直线最短；
③大于直角的角是钝角；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
错解：B或C或D
错因分析：对概念理解不清.①说法错误，必须说明A、B、C三点共线时；
②说法错误，应是两点之间线段最短；
③说法错误，应该是大于直角小于平角的角是钝角；
④说法错误，以B为顶点的角不是一个，故不能用∠B表示，
正解：A．
8.在8：30时，时钟的时针与分针的夹角为 度．
错解：60
错因分析：当分针转动时，时针也是在不断转动的，也就是说，8:30时，分针是指向6时的，但时针不是指向8时的，而应该指在8时与9时之间；时针每分钟转动0.5°，时针走了30分针，所以时针转动0.5°×30=15°，因此时针与分针的夹角为60°+15°=75°.
正解：75
9.如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有 个角；如果引出5条射线，有 个角；如果引出n条射线，有 个角．
错因分析：找不到规律，出现漏数或者重复数的错误解答.
∵在锐角∠AOE内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；
在锐角∠AOE内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；
在锐角∠AOE内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+…+（n+1）=
正解：10；21；
10.如果∠AOB=34°,∠BOC=18°,那么∠AOC的度数是
错解：52°；16°
错因分析：没有分情况讨论,出现漏解的情况.应分为①当∠BOC在∠AOB内部，②当∠BOC在∠AOB外部两种情况.
① 如图1,∠AOC=∠AOB-∠BOC=34°-18°=16°；
②如图2,∠AOC=∠AOB+∠BOC=34°+18°=52°，
正解：52°或16°
11.一个正方体六个面上分别写着“东”、“海”、“实”、“验”、“学”、“校”，如图是这个正方体的三种不同的摆法，则与“东”、“海”、“实”所在面相对的面上的字分别是 .
错解：验，学，校
错因分析：缺乏空间想象能力，片面地只看一个图形就下结论.从前2个图形看，和东相邻的有海、实、学、校，那么和东相对的就是验．从第2个图形和第3个图形看，和校相邻的有东、实、验、学，那么和校相对的就是海．则和实相对的就是学．故与“东”、“海”、“实”所在面相对的面上的字分别是：验，校，学．
正解：验，校，学．
12.下图都是由边长为1的正方体叠成的图形：
第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，依此规律．则第（5）个图形的表面积_________个平方单位．
错因分析：找不到一般规律，逐个数的时候出现遗漏或者重复的情况.结合图形，发现：①中，图形的表面积是1×6=6；②中，图形的表面积是（1+2）×6=18；③中，图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解．第⑤个图形的表面积是（1+2+3+4+5）×6=90．发现：第n个图形的表面积是（1+2+…+n）×6=3n×（n+1）．
正解：90
13.如图是一个由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中的小正方体共有 个.
错解：9
错因分析：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．学生考虑不全面出现漏解得情况.如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．从主视图上看：这堆立体图形中的小正方体共有3层，从俯视图上看：这堆立体图形中第一层有6个小正方体，从左视图上看：这堆立体图形第二层有2个或3个小正方体，第三层只有1个小正方体，∴这堆立体图形中的小正方体共有：6+3+1=10或6+2+1=9，
正解：9或10
14.如图，∠AOB是直角，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小．
（2）当∠AOC=α时，∠MON等于多少度？
（3）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小会发生改变吗？为什么？
错因分析：本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义，准确识图根据∠MON=∠COM-∠CON表示出∠MON是解题的关键．对于（2）（3）问大部分学生根据∠MON=∠MOA+∠NOA从而无法利用角平分线性质求解.（1）先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM、∠CON，然后根据∠MON=∠COM-∠CON代入数据进行计算即可得解；
（2）把50°换为α，根据（1）的计算求解即可；
（3）根据（2）的计算结果解答．
正解：解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=×140°=70°，
∠CON=∠AOC=×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°-25°
=45°；
（2）当∠AOC=α时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=（90°+α），
∠CON=∠AOC=α，
∴∠MON=∠COM-∠CON=（90°+α）-α=45°；
（3）不会发生变化，
由（2）∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半．
第五章 相交线与平行线
一、选择题
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
错解：A或B或C
正解：D
误区分析：对对顶角的定义不熟练．本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．
2.如图，∠1与∠2是同位角，若∠2=65°，则∠1的大小是（ ）
A．25° B．65° C．115° D．不能确定
错解：A或B或C
正解：D
误区分析：两直线平行同位角相等，如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系．由图形可得，不能确定直线m和直线n平行，故不能确定∠1的大小．故选D．
3.有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
错解：B或C或D
正解：A
误区分析：①忽略了两条直线必须是平行线，故①错误；②两点之间，线段最短是公理，故②正确；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角，故③错误；
④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故④错误．⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B． 等角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．故⑤正确．
故正确的有②⑤．故选：A．
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．垂线最短
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．相等的角一定是对顶角
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
错解：A或C或D
正解：B
误区分析：A、垂线是一条直线，没有长度，故本选项错误；B、过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知平行，故本选项正确；C、平行线中，同位角相等，但不是对顶角，故本选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项错误；
故选B．
解答：解：A、∵在同一平面内，两直线的位置关系是平行、相交，2种，
5.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等且互补
错解：A或B或D
正解：C
误区分析：本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；
∠3+∠2=180°
∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°．
∴这两个角相等或互补．
故选C．
二、填空题
1．如图，直线AB∥CD，∠E=30°，∠C=40°，则∠A等于（ ）
错解：40°或30°或其他
正解：70°
误区分析：根据三角形的外角性质求出∠EFD，根据平行线的性质得出∠A=∠EFD，代入即可．
解：∵∠E=30°，∠C=40°，
∴∠EFD=∠E+∠C=70°，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠EFD=70°.
2.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到
△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），则∠BA′A
的度数45是（ ）
错解：90°，135°或其他
正解：45°
误区分析：根据题意，画出图形，由平移的性质求得结果．
如图所示，平移后AA′=3，而过点B向AA′引垂线，垂足为D，∴BD=4，A′D=4，∴∠BA′A=45°．∴BD=4，A′D=4，
∴∠BA′A=45°．
本题考查平移的基本性质．经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想．
三、解答题
１.如图AB∥CD，CE交AB于点A，AD⊥AC于点A，若∠1=48°，求∠2
错解：48°或其他
正解：42°42
误区分析：先根据平行线的性质求出
4∠C的度数，再由直角三角形的性质即可得出
∠2的度数．∵AB∥CD，∠1=48°，
∴∠C=∠1=48°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠2=90°-∠C=90°-48°=42°．
故答案为；42．
２.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行？
错解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，
∵∠3=∠4，∴AB∥CD
误区分析：内错角定义不熟练，且本题考查了平行线的判定，准确判断出形成角的截线与被截线是解题的关键．
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故可以判定AB∥CD，AD∥BC．
第六章 实数
一、选择题.
1.下列各数：，π， ，0，，其中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解：A或C或D
正解：B
误区分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．=2，由此即可判定选择项．π和，是无理数．故选：B．
2.下列判断中，错误的是（ ）
A．-1的平方根是±1 B．-1的倒数是-1
C．-1的绝对值是1 D．-1的平方的相反数是-1
错解：B或C或D
正解：A
误区分析：A、负数没有平方根，故A说法不正确； B、-1的倒数是-1，故选项正；
C、-1的绝对值是1，故选项正确；D、-1的平方的相反数是-1，故选项正确．故选A．
3.在下列说法中：①10的平方根是±；②-2是4的一个平方根；③的平方根是；④0.01的算术平方根是0.1；⑤=±a2，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解：A或B或D
正解：C
误区分析：根据平方根和算术平方根的概念，一定记住：一个正数的平方根有两个它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根
①10的平方根是±，正确；②-2是4的一个平方根，正确；③的平方根是±，错误；④0.01的算术平方根是0.1，正确；⑤=a2，⑤错误；
正确的是①②④；故选C．
4.已知=7.35，则0.005403的算术平方根是（ ）
A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735
错解：A或C或D
正解：B
误区分析：由于所求已知数0.005403的小数点比54.03向左移动了四位，那么则它的平方根就向左移动两位，由此即可得到结果,0.005403的算术平方根是0.0735．
故选B．
点评：此题主要考查了算术平方根的定义和性质，解题关键是小数点的位置，这个数的小数点向左移动了四位．则它的平方根就向左移动两位．
二、填空题
1.的算术平方根为（ ）
错解：2
正解：
误区分析：此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道=2，实际上这个题是求2的算术平方根．注意这里的双重概念．
2.设5-的整数部分为a，小数部分为b，则2-b的值为（ ）
错解：1.732
正解：
误区分析：错解是将取了近似值1.732，而实际上应该是根据的大小，可估算5-的整数部分为a=3，小数部分为b=5--3=2-，可得答案为2-（2-）=
三、解答题
1、计算（1）+（2）-22+-
错解：（1）原式=-2-4=-6
（2）原式=-4+4-2=-2
正解：（1）原式=2-4=-2
（2）原式=-4+4+2=2
误区分析：实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用平方根，立方根，化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用平方根，立方根以及乘方的意义计算即可得到结果．
2．已知9x2-16=0，求的值．
错解：∵9x2-16=0
∴x=
∴=
正解：∵9x2-16=0
∴x=
∴=
或∴=6
误区分析：化简，开方时要注意正数有两个平方根
3 若+ =0，求的平方根．
错解：∵+ =0
∴ a-b-7=0，2a+b-8=0
∴ a=5,b=-2
∴=5
正解：∵+ =0
且 0， 0
∴ a-b-7=0，2a+b-8=0
∴ a=5,b=-2
∴=5
∴的平方根=
误区分析：没有强调非负性，并且对于平方根，算数平方根及其符号表示不熟练.
第七章 平面直角坐标系
1.求点P（m，-n）与两坐标轴的距离为（ ）
A.到x轴距离为m,到y轴距离为-n
B.到x轴距离为-n,到y轴距离为m
C.到x轴距离为|m|,到y轴距离为|-n|
D.到x轴距离为|-n|,到y轴距离为|m|
错解：B或C
错因分析：距离为长度即为非负数，由于题中坐标中出现的m与-n并未指明正、负，故应用“||”表示距离.由坐标的概念，P点到x轴的距离应等于它的纵坐标的绝对值；P点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值.
正解：D
2.若点P到x轴、y轴的距离分别为2和5，则点P的坐标为
错解：（2,5）或者（5,2）
错因分析：对点的坐标的几何意义理解不清.点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.
正解：（5,2）或（-5,2）或（5，-2）或（-5，-2）
3.在坐标平面内，有一点P（a，b），若ab=0，则P点的位置在（ ）
A．原点 B. x轴上 C. y轴上 D. 坐标轴上
错解：A
错因分析：只考虑了a=b=0的情况.
∵ab=0，∴a=0或b=0或a=b=0
（1）当a=0时，横坐标是0，点在y轴上；
（2）当b=0时，纵坐标是0，点在x轴上;
（3）当a=b=0时，点在原点.
故点P在坐标轴上．
正解：D
4.已知点M（3，-2），它与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN=4，那么点N的坐标是
错解：(7,-2)
错因分析：根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点N的纵坐标，再分点N在点M的左边与右边两种情况讨论．
∵点M（3，-2），MN∥x轴，∴点N的纵坐标y=-2，
点N在点M的左边时，点N的横坐标为3-4=-1，
点N在点M的右边时，点N的横坐标为3+4=7，
所以，点N的坐标为(7,-2)或(-1,-2).
正解：(7,-2)或(-1,-2)
5.已知点A（4，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标
错解：（5,2）
错因分析：考虑不全面，出现漏解的情况.如图，第四个顶点可能为：D1（5，2），D2（-5，2），D3（3，-2）.
正解：（5，2）或（-5，2）或（3，-2）
6.已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是
错解：4（或8）
错因分析：需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，
那么5×|OA|÷2=10，解得：OA=4，所以a=4或a=-4．
正解 4或-4
7.已知点P（2-a，3a-2）到两坐标轴的距离相等，P点坐标为 .
错解:（1,1）
错因分析:到两坐标轴的距离相等，则点P的横、纵坐标的绝对值相等，即|2-a|=|3a-2|∴2-a=±（3a-2），∴a=1或a=0，∴P点坐标为（1，1）或（2，-2）．
正解:（1，1）或（2，-2）
8.已知点P(1-2m，m-1)，则不论m取什么值，该P点必不在( )
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
错解:B或C
错因分析:此题很多学生无从下手，需分情况讨论：
①1-2m＞0时，m＜，此时m-1＜0，所以，点P在第四象限;
②1-2m＜0时，m＞，此时m-1既可以是正数，也可以是负数，
所以，点P可以在第二、三象限，
综上所述，P点必不在第一象限.
正解: A
第八章 二元一次方程组
1.已知方程组：① ，② ，③ ，④ ，正确的说法是（ ）
A.只有①③是二元一次方程组；
B.只有③④是二元一次方程组；
C.只有①④是二元一次方程组；
D.只有②不是二元一次方程组.
错解：A或C
错因分析：方程组①④是二元一次方程组，符合定义，方程组③是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组.
正解：D
2.用加减法解方程组 .
错解：①－②得-y=2，所以y=-2，把y=-2代入①，得，解得 .所以原方程组的解是.
错因分析：在加减消元时弄错了符号而导致错误.
正解：①－②得9y=2，所以，把代入①，得，解得 .所以原方程组的解是 .
3.利用加减法解方程组.
错解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得. 所以原方程组的解是.
错解解析：在①×2＋②这一过程中只把①左边各项都分别与2相乘了，而忽略了等号右边的常数项4.
正解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得. 所以原方程组的解是.
4.两个车间，按计划每月工生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120％，第二车间完成计划的115％，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？若设两车间上个月各生产微型电机x台和y台，则列方程组为（ ）.
A. B. ；
C. D.
错解：B或D
错因分析：错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第一
车间实际生产台数＋第二车间实际生产台数＝798台；（2）第一车间计划生产台数＋第二车间计划生产台数＝680台.
正解：C
5.某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？
错解：设晚会上男生有x人，女生有y人.
根据题意，得
把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.
所以答:晚会上男生3人，女生5人.
错因分析：本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.
正解：设晚会上男生有x人，女生有y人.
根据题意，得
把③代入④,得
x=［2（x-1）-1-1］，解得x=12.
把x=12代入④，得y=21.
所以
答：晚会上男生12人，女生21人.
6.已知关于的方程组和的解相同,求的值.
错解：无从下手
错因分析： 关于的方程组和的解相同表明两个方程组中的4个方程有一个公共解,这个解可由解方程组得出为,再把代入可得到关于的方程组,解之可得.
正解：联立解得,
把代入得,
解之可得.
第九章 不等式与不等式组
1.如果关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜，则关于x的不等式ax＞b的解集为 .
错解： x>
错因分析：忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反;对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围.
正解：x<
依题意得：，解得.所以ax>b的解集为x<.
2.若不等式组无解，求a的取值范围 .
错解：a>3
错因分析：此题错在没有考虑待定字母的取值范围时的特殊情况，即a=3时，有x3及x>3两种情况，而此时不等式也是无解的.
正解：
由得，又因为原不等式无解，所以.
3.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围 .
错解：（或a=-3）
错因分析：错在忽视了a有一定限制，a的取值范围在-3与-4之间的任一处，其中包括-3但不应包括-4，所以在确定a的取值范围时扩大了解的范围.
正解：
由解得，又因不等式组有5个整数解，所以.又知这5个整数解应分别为-3、-2、-1、0、1，所以a的取值范围是.
4.解不等式.
错解：2x>3(x-2)+2
2x>3x-6+2
2x-3x>-6+2
-x>-4
∴x>4
错因分析：本题首先在去分母时，漏乘了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化为1时，不等式的两边同时乘以（或除以）-1，不等号的方向没有改变.
正解：2x>3(x-2)+12
2x>3x-6+12
2x-3x>-6+12
-x>6
∴x<-6
5.解不等式
错解：
错因分析：在解答时，混淆了分数的基本性质和不等式的性质，在利用分数的基本性质化小数位整数时，错误地将常数项-1乘以了10；在将式中的小数化为整数时，没有根据分数的基本性质将分数中的每一项都同乘以10，漏乘了分子中的-1.
正解：
6.某小店每天需水1m³，而自来水厂每天只供一次水，故需要做一个水箱来存水. 要求水箱是长方体，底面积为0.81 m２，那么高至少为多少米时才够用？（精确到0.1 m）
错解：设高为x m时才够用，根据题意得.由.要精确到0.1，所以.
答：高至少为1.2m时才够用.
错因分析：最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，水箱存水量不得小于1 m³，如果水箱的高为时正好够，少一点就不够了. 故最后取近似值一定要大于，即取近似值时只能入而不能舍.
正解：设高为x m时才够用，根据题意得.由于，而要精确到0.1，所以.
答：水箱的高至少为1.3m时才够用.
课题研究附录:
数学作业订正情况调查表
填写事项说明：同学们，请您诚信填写，每一题选一个序号，不用留姓名和班级，谢谢合作.
（ ）1.你的老师说过订正的重要性吗？
①经常说 ②说起过 ③没说过 ④不知道
（ ）2.你认为订正重要吗？
①挺重要的 ②一般 ③不重要 ④不在乎
（ ）3.你订正的主要方法是什么？
①抄板书 ②上课边听边记
③抄同学笔记 ④课外辅导订正
（ ）4.你会去做错题分析吗?
①经常做分析 ②偶尔去分析 ③不会分析 ④其它
（ ）5.一次订正一般用去你多少时间？
①半小时内 ②半小时到1小时
③1小时到2小时 ④2小时以上
（ ）6.如果订正的题目由你自己挑选，主要选什么类型？
①选择题 ②解答题 ③填空题 ④三者皆有
（ ）7.若满分10分，你给自己的数学学习状态打几分？
①6分以下 ②6～7分 ③8～9分 ④10分
（ ）8.你觉得数学成绩还有多大的提升空间？
①很大 ②有，但不是很多 ③非常有限 ④没有
（ ）9.你的作业订正情况是怎样？
①全部订正 ②大部分订正 ③一小部分订正 ④不订正
初中生数学练习中的错题成因及处理策略的研究报告
东方红学校课题组 胡旺来
前 言
１. 课题的确立
在初中数学的教学实践中，解答习题，错误常难避免，发生错误和改正错误贯穿于整个教学过程.为什么错？错在哪里？如何解决这一问题？这就需要我们找出产出错误的原因，研究纠正和避免错误的方法，从而吸取有益的教训，加深基础知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力.基于以上目的，我们计划开展初中生数学练习中的错题成因及处理策略的研究.
２. 课题研究的背景及方向
现代学习理论认为，知识是人对客观世界的认识，是客观世界在人头脑中的主观反映，人的学习是一个客观世界与主观经验世界相互作用建立映射关系的过程.而在这个过程中建立的映射关系的集合就是我们所说的人的知识架构，那么，这个映射关系建立的过程就具有了四个基本特性：
一是鲜明的个人经验色彩；
二是强烈的主观能动性；
三是具有自主建构性；
四是映射关系的建立具有实践.认识、再实践、再认识的循环往复性.
因此，新课程标准要求我们在初中数学教学活动中，教师应注意激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中获得广泛的数学活动经验，从而真正理解和掌握数学的知识、技能、思想和方法.
长期以来，许多数学教育工作者只是从认知角度出发，将数学学习看成是一个由感知、注意、记忆、理解等构成的认知过程，在教学实践中教师反复讲解，学生被动接受，在这样的学习中学生逐渐失去了自主学习，自由思考的意识和能力，所学的知识大多属于惰性知识（必须经刻意提醒才能回忆起来的知识）.然而，数学学习是一个认识规则、掌握规则、运用规则的学习过程.要使得学生的数学学习与应用能力真正得到培养和发展，就必须使学生具备自主学习的意识，具有独立从事学习活动的机会和自由思考的空间.
从心理学角度看，初中生年龄阶段的心理发展具有明显的过渡性，在这个阶段，学生开始从依赖走向独立，从他律走向自律，是独立性，自信心，自我监控和调节能力等心理品质的养成时期，可塑性强.
因此，我们认为在初中数学教学中，从初始年级开始，结合学生的个性学习心理品质的发展，利用学生身边最常见的素材——错题，进行分析和整理找出错题成因，结合对个性心理品质的分析，学生自我反思，制定处理策略，开展主动针对性的训练，是达到改善学生个性学习心理品质，提高学生在学习过程中的自我反馈、矫正能力，形成良好的学习自我调整系统，促进学生学习能力充分发展，真正达到“减负增效”的有效方法.
正是基于这样的认识，我们提出了《初中生数学练习中的错题成因及处理策略的研究》这一微型课题.所谓“错题成因分析”，就是在初中数学学习中，让学生对于自己做题过程中产生的错误进行分析、判断与整理；所谓“处理策略”，就是让学生在“错题分析”的基础上，通过学生自主配置与自己的错题相匹配的练习，在对这些问题的解决过程中达到自我反馈、自我矫正、自我评价、提高学生数学学习能力的目的.
资料查阅表明，虽然国内外部分学校在数学教学中也有运用到“说错”、“改错”等，也有很多教师在教学实践中采用“错题整理”的方法，但基本都是作为某些主要内容中的一小部分而出现的，很少作为一个专项课题进行研究过，并且他们的实践还都仅仅停留在表层现象，即只是指导学生达到能通过发现自己的错误，然后进行一定的反思，争取以后不再犯类似的错误.但是这样的研究太浅层了，每个学生由于受到个性、能力等诸多因素的影响，所发生的错误会具有个体的特征性.因此，我们的研究致力于在学生分析、整理了自己的错误并进行反思的基础上，鼓励并指导学生针对自己的错误选择性地配置和完成相应的练习，针对性地对学生的认知障碍和缺陷进行处理，达到改善学生的个性学习品质，提高数学学习与应用能力.
３. 课题研究的内容
初中生数学错题涉及到的知识点比较多，为了提高研究的质量和实效性，我们选择了新人教版数学七年级上、下两册的内容.
首先，我们进行数学错题的收集、分类、筛选和易犯错的数学知识点的统计；
其次，从数学知识、数学教育学、教育心理学等方面（如：认知结构、知识经验、技能、态度等），对七年级学生的各典型错误进行分析后，找出数学错题形成的原因；
最后，根据典型错误成因的分析结果，分别对学生在学习过程中、教师在实际教学中提出提出各种解决问题的策略和错题整改的措施.
４. 课题研究的方法和措施
⑴行动研究法：按单元、章节记录收集学生每日课堂练习、作业本、课外资料（校本教材 “３+３”四步导学稿等）单元练习检测及专题中的错题.
⑵调查法：观察、记录学生在订正作业过程中表现出来的言行事实，分析概括教学现象，挖掘提炼教学经验，解读教学缺失.
⑶文献查阅法：主要是对当前作业批改、评价的研究水平、科研成果作出较为全面的收集整理和综述解读，为项目研究提供丰厚的资源支持.
为了开展好研究工作，具体研究方案流程如下图所示：
一、数学错题的收集与整理的方法和过程
研究错题，制作“错题集”是一项非常重要的工作.在这些错题的背后，往往是知识学习时所产生的知识漏洞.在本阶段我们进行了如何整理“错题集”的研究，在实验中总结出了以下的方法
(一)错题的来源
从我校的学生实际出发，通过研究整理发现，数学练习中的错题主要来源于以下几个方面：
１.每天的家庭作业中做错的题.虽然通过学生的作业练习可以很直观地收集到错题，但这些错题分布比较广，而且量大，学生们的错题多种多样，这样的习题整理起来要具有代表性，不能盲目收集.
２.在数学课堂中，学生在“３+３”四步导学稿上做错了练习题，这类题比较好收集，上面也有“质疑·复备”的环节，师生可以共同找到易错题，共同处理.
３.在学生的每次单元测试、期中测试及期末测试等中出现的错题.这类错题比较集中，教师也好控制，一般在出试卷的难度系数中就考虑进去了.
师生结合一年来的努力，共同完成错题的收集工作，这项工作是一个长期坚持不懈的过程，一定要保持可持续性，不能东拼西凑，要保证错题的全面性和完整性.
(二)错题的分类
为了更好的建立错题资源库，我们的错题是按照代数与几何两大板块完成的，其主要的分类章节顺序为：
第一章：有理数；第二章：整式的加减；第三章：一元一次方程；第四章：几何图形初步；第五章：相交线与平行线；第六章：实数；
第七章：平面直角坐标系；第八章：二元一次方程组；第九章：不等式与不等式组.
(三)错题的整理
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错题类型整理表
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错误的盲点类型
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题数
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百分率
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知识类因素
（知识能力层面、
知识结构性错误）
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一、完全没有能力做对的题
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1.概念不清类（似懂非懂）
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2.题型类（题目看不懂）
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3.应用能力类.
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4.知识点间的应用与综合题.
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小计
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二、模棱两可，
似是而非的题
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1.概念模糊类（找不到入手点）
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2.记忆模糊类
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小计
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非智力因素
（心理心态层面，
非知识结构性错误）
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三、会做的却做
错了的题
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1.顾此失彼类
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2.审题错误类
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小计
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四、应用策略类
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1.考试时间分配不合理
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2.舌尖现象
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3.克拉克现象
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4.应试怯场
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小计
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五、一般做数学练习题习惯类
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1.看错
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2.抄错
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3.算错
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4.写错
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5.想错
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6.跳跃
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7.没有按要求答题
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8.书写的规范性不够
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小计
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总计
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(四)制作错题本
学生若能从统计表中发现自己的出错类型及百分比，能够分门别类有条不紊地区别处理不同的问题，具有知识结构板块和框架意识，并以此制定和调整自己的学习目标，可以培养和提高自己的思维能力和分析归纳能力.为此，在这一年的研究过程中，我们师生共同根据教学实际，把具有代表的错题整理出来了，并装订成册，进行推广.(见附件错题库)
二、初中生数学练习中的错题成因分析
经过多方面对学生进行的错题收集、整理、统计和分析，发现学生在初中数学练习中出现错误原因是多方面的，归纳起来主要有以下几个方面：
(一) 心理方面原因
目前,不少学生在做数学练习时,常常会出现会而不对，或对而不简，或对而不快，表述不严密，不全面等现象.还常常听到一些教师或家长或学生本身在分析原因时说：“唉!这道题本来是会做的,就是因为粗心大意,所以做错了.”似乎一句“粗心大意”就可以为错误开脱.我们常说学生“粗心”，也经常听学生自己和家长说“粗心”.其实“粗心”大多是由学生感知、注意、思维、记忆、情感等因素造成的，主要表现在以下几个方面：
１.题目感知不正确
由于计算本身的外显形式简单，这样更容易造成学生感知粗略、笼统、不具体，再加上学生看题、读题、审题、演算过程中太过急于求成，因而导致所感知的表象模糊，致使把计算式题中的数字、符号抄错.如，把“＋”误作“－”，把“3”写成“5”,“B”写成“８”等等.
２.练习时注意力不集中
注意是指心理活动对一定事物的指向和集中.心理学研究表明，不善于分配注意力是学生注意的特征之一，要求他们在同一时间把注意分配到两个或两个以上的对象时，往往会出现顾此失彼等现象，从而造成计算的错误.如计算有理数的混合运算不是抄错数据，就是忘记颠倒计算顺序，或者去括号时，不注意括号前面的符号，而进行错误的书写.
３.短时记忆出错
记忆是学习的基础、知识的储存、积累和更新都要依赖于记忆，无论是口算还是笔算或估算都需要良好的短时记忆力做保证.一些学生由于短时记忆力发展较弱，导致计算错误.如一元一次方程计算的最后一步，系数化为１，学生经常把结果的分子分母颠倒，导致错误的产生，又如带分母的一元一次方程的计算，学生容易忘记去分母，而进行通分，增加了计算的复杂程度，也增加了计算的错误率.
4.强信息的干扰
强信息在大脑中留下的深刻印象，在遇到与强信息类似的新信息时原有的强信息痕迹便被激活，干扰正常思维活动，造成计算错误.如，×8是一个强信息，当学生计算式题，部分学生会不假思索地算成，“凑整”因素对学生产生了强烈刺激，使他们在计算时忽略了正确的运算顺序、计算法则，而导致计算出错.
5.思维定势的影响
思维定势是思维的一种“惯性”，指由于先前的活动而形成的一种心理准备状态，它使人以比较固定的方式去进行认知和做出行为反应.思维定势有积极作用，也有消极作用，如在计算二元一次方程的解的题目类型中，如果前面连续几题都求方程的整数解，那么下一题题目的非负整数解的要求就会被学生忽略掉，任然按照整数解进行计算，从而产生错误.
6.情绪不稳定
学生在计算时，总希望能很快算出结果.因此，当遇到计算题里的数据较大或算式较复杂时会产生排斥心理，表现的缺乏耐心和信心，不能认真地审题，没有耐心去选择合理算法，从而导致错误出现.有时因为老师和家长的误解，家长的批评，甚至打骂，使孩子心理受到严重的挫折，怀疑自己的能力，缺乏学习的信心，粗心的问题也会日趋严重.
7.个性和学习类型的不同
学生的气质类型和学习类型不是全部相同的，从而造成学习心理的不同．通常黏液质和抑郁质的孩子粗心要比多血质的孩子少，因此对多血质的孩子要多一份理解和宽容．老师和家长要正确判断孩子的气质类型和学习类型已能够及时的给予学生理解和帮助．
(二) 基础知识和基本技能方面的原因
学生顺利正确地完成解题，表明其在分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰.在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误.就初中学生解题错误而言，造成错误的干扰来自以下几方面：
１.审题类错误
主要表现有：不睬解题意，或审题不细心，忽略、遗漏了某些特殊、隐含条件，或受思维定势的影响，错误的理解题意进而使得解题失误.受此影响，学生在解答问题时常常出现混乱与错误.
例如：礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值.学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹.又如，学生在小学阶段形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的.在小学，学生对数之和不小于其中任何一个加数，即a+b≥a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a+b＜a也是可能的.也就是说，习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题错误.另外，“+”、“-”号长期作为加、减号使用，学生对于3-5+4-6，习惯上看作3减5加4减6，而初中更需要把上式看成正3负5正4负6之和.对习惯看法的印象越牢固，新的看法就越难牢固树立.
2.计算类错误
除粗心原因之外，常常是算理不清或选择方法不妥，这也是造成计算不准确或错误的直接原因.学生习惯于算术解法解应用题，这会对学生学习代数方法列方程解应用题产生干扰.
例如，在求两车相遇时间时（甲、乙两站间的路程为360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km，两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？），列出的“方程”为x=360÷48+72.由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹.而初中需要列出：48x+72x=360这样的方程，这表明学生对已知数和未知数之间的相等关系的把握程度.
３.初中数学知识点相互干扰
例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“-”是减号给学生留下了深刻的印象.紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正 3与负7之和，“-”又成了负号.学生不禁产生到底要把“-”看成减号还是负号的困惑.这个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误.又如，了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3是不等式教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就有受等式两边可以乘以或除以任何一个数以及方程的解是一个数有关 .事实也证明，把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等式的内容.
４.片面的思考问题，导致结论不全面
学生在解答单一问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错.
例如：已知，则a的值是什么？很多学生会说是负数. 错解的原因是漏掉了“0”这个特殊数.因为当a＞0时；当a﹤0时；当a=0时， .
５.对于错题不善于纠正
有些学生在解题是同样的问题反复出现出错，原因是学生没有对出错的原因进行深入的分析并及时反思，而是单纯的就题改题，至于为什么错了，就不得而知了，导致对知识的理解是是而非，等到下次再碰到的此类问题的时候还是不会.
三、初中生数学练习中的错题订正情况调查分析
调查对象：东方红学校七年级100名学生
调查方式：随机抽样问卷调查
调查时间：2014年３月7日
数据总表：
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题号
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选 项
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①
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②
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③
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④
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1
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61
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32
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5
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2
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2
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82
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18
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0
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0
|
|
3
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13
|
83
|
2
|
2
|
|
4
|
16
|
70
|
13
|
1
|
|
5
|
63
|
35
|
2
|
0
|
|
6
|
20
|
21
|
0
|
59
|
|
7
|
16
|
50
|
33
|
1
|
|
8
|
55
|
37
|
6
|
2
|
|
9
|
54
|
42
|
2
|
2
|
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10
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63
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29
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4
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4
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调查结果表明：
１.从教师的层面而言，强调了数学错题订正的重要性，深入人心，在实际的教学中很重视错题处理，特别是讲习题课时，重点也是放在错题的讲解上，其主要方法是讲授法，通常学生是被动接受知识，很少从学生的自主学习出发.
２. 从学生的层面而言，我校本年级的学生纠错意识比较强.但订正错题的方式方法有待提升，绝大部分是盲目地仿效教师的做法，没有真正去研究错题.其次，学生不重视错题分析，订正错题很大层面上是为了应付教师的任务，有大部分学生敷衍了事，另外学生对自己的数学学习状态不自信，都认为自己有很大的提升空间，但没有下功夫把自己的学习成绩提上来.
四、初中生数学练习中的错题处理策略
不同类型错题产生的原因迥然不同，其解决的策略也各异，方法也有别.如果不加以区别对待的话，是不可能做到轻松学习，更谈不上学会学习和享受学习了.要根据错误的原因运用相应的对策，对症下药才能不断收获进步的果实.为了有效地纠正和预防学生继续犯错误.建议的做法有如下几方面：
(一)学生层面的做法
１.没有能力做对的题
这主要表现在智力因素培养方面，对于知识结构性错误，重做一遍二遍错题是十分必要的，这要视学生对错题的把握程度而定.这类错误是学生通过学习，建立自身知识体系时存在的漏洞，通过重做错题，并认真分析，把这个漏洞补上，就可以健全我们的知识结构体系，锻炼我们的思维能力，用较短的时间就可取得平时高效的收益.也能发现自己究竟是学习行为方面存在问题，还是某些思维方式需要加以调整.
⑴概念不清类：这类问题包括知识结构板块、知识点、基础知识（诸如具体的定理、公式、概念等等），容易压得人喘不过气来.处于不同学习层次的同学要根据自己的实际情况，加强训练和记忆，培养自己的宏观思维方式，因人而异地确定自己的学习目标、步骤和解决问题的方案，并且有效地进行目标时间管理.
⑵题型类：这类问题往往是未能掌握不同题型的解题思路或技巧；或处理问题的方式过于死板，虽然知道该题涉及到的知识点，但是却无从下手展开解题活动.其实无论是哪一类题型，都有其解题的一般思路和方法（共性），只要掌握住某一题型的答题要领，以及能够仔细区分某一特定试题的“个性”，就能顺利将题解出.加强训练，假以时日便能培养自己举一反三能力，增进解题的灵活性与变通力，并且随时都能够有所感悟，使自己的思维能力得到提高.
⑶能力应用类：这类问题往往是对知识点相关概念的理解较为浅
显，思维单一，知其然不知其所以然.当使用障眼法，把曾经解答过的题变换某些条件，移植一种情景时，就会产生似曾相识的感觉，不再细辨其中的异同，自然会被虚假条件搞昏头.究其原因主要还是对某些知识缺乏灵活运用，不能融会贯通，同时缺乏理论联系实际的探索精神.要针对试题涉及的知识点及内容认真地加以复习巩固，多观察和了解日常生活现象，做操作题时多与理论相联系，加强典型题与日常生活应用训练，多做试题分析.这样可以有效地培养和训练自己的发散思维能力、观察能力和逆向思维能力.
2.模棱两可的题
对于模棱两可,似是而非的错题，通过分析，可以发现是把公式给弄混淆了？还是把公式给用错了？是理解错了？还是记忆错了？通过训练可以有效地增进智力因素.
⑴概念模糊类：这类问题往往是一点就通，容易被人忽视.比如巧妙设置在题中的隐含条件、限制条件和关键词语等等这类问题，往往一点就破，一般会认为自己是弄懂了的，只是没有发现而已，实际上是概念模糊.有的则是自身知识结构体系脉络不清，以致给出错误答案.加强概念和基础知识的训练和巩固，多做典型题型是解决这类错误的方法之一.
⑵记忆模糊类：这类问题主要是对概念和原理等的理解过于浅显，或记得不牢，或只知其一，不知其二，当问题交织在一起时，便分辨不清，导致答题时似是而非.当问题成堆时，面对题海便会显得迷茫、不知所措、甚至于无精打彩，以至于懈怠下去.攻克这类问题主要就是解决理解和记忆，并要拓展知识的运用.
３.屡次犯错的题
这主要表现在非智力因素培养方面，这类问题最容易被人忽视，常常会自以为是地认为下次注意就行了，自己是不会再犯这个错误的，然而，往往却事与愿违，不会发生的事竟然又一次发生了.所以，别对自己的错误太温柔，一定要找出问题所在，消灭这类问题.
(1)顾此失彼类：考题中涉及的知识点稍多一点，过程稍复杂一些，大脑就运转不过来，顾头不顾尾.这主要缘于典型题做得不够，做得不精，做题的难度系数也较低，并对教材中的观点、基本原理和基本概念等理解得不深不透.
(2)审题错误类：还没看清条件就急忙解题，可能是观察得不够仔细，判断得不够准确，也可能是考试策略不当，或是心理心态不稳，还可能是缘于外界的干扰刺激，更有可能是平时练习不到位，仅仅是为了完成作业而作业，或做题缺乏针对性，成天盲目做题，忽略了做完题后的反思环节，以及平时就缺乏慢审题快解题的训练.要养成“袖手于前疾书在后”的答题风格，以及做完题后进行回顾和总结的习惯，这对增强自己的审题能力极有好处.
４.非知识结构性错误
这主要表现在非智力因素培养方面，由于马虎出错导致丢分是一个普遍存在的现象，于是大家往往就变得心安理得，还会阿Ｑ式原谅自己：“这些题我都会做，就是粗心没考好，否则就是满分了，我今后要注意克服.”能克服吗？未必！因为粗心不是一种行为，马虎也不是一种行为，要改还得从行为入手，平时要加强行为习惯的训练.学习中常见的粗心或马虎行为主要有以下几种.
⑴看错：看错题这种行为产生的原因主要与人的瞬时记忆有关.有的人视觉成像反应稍慢（他的学习类型可能不属于视觉类型），而他又看得快，前面的信息在大脑中还未形成稳定的状态时，后面的信息又进来了，于是导致把题看错，解决这一行为就是放慢看题速度，也就是俗话所说的“看仔细点”.有的人则可能是与自身的短时记忆容量有关，人的短时记忆容量为7±2，如果一个人的短时记忆容量为5，即他一次瞬间只能记住5个单词或数字之类的东西，当他想一次瞬间记住7个时，就会出现记忆错误，从而就会发生看错了的现象，解决这一看错行为可以通过平时训练来达到，最简单的办法是在上学或放学的路上用瞥一眼方式去记路边的汽车牌照，也可以运用瞥一眼的方式去记一组数字或符号或英语单词，以提高自己的短时记忆容量，增强记忆力.
⑵抄错：普遍把草稿纸上的正确答案抄到答卷上出错或抄漏是最冤枉的一种丢分.这一抄错行为的产生除了与瞬时记忆有关外，还与人的过忆过程有关，抄写包括记（看）和忆（写）两个过程，你可能没有看错，但你却写错了，为什么呢？因为人们在回忆时，总是会把后面位置的字与前面位置的字颠倒，在你说话或背诵时也会出现这种前后位置颠倒的情况.解决这一行为的办法就是进行大量的快速抄写行为训练，提高大脑的纠错能力.另一个原因还与人的记忆缓存有关，举个例来说，有的人可以在别人念下一句时，继续写完上一句，有的人却比较困难，这也需要通过经常的听写行为训练来加以解决.
⑶算错：计算时出错.这主要反映出平时的练习少了，没有养成自动化答题技能，没有形成稳固的肌肉记忆方式.大家知道骑自行车不倒，靠的就是肌肉记忆反应，在急刹车时，靠的也是肌肉记忆反应，如果要等到大脑来指挥的话，车祸就已经发生了.肌肉记忆方式可以有效地减轻我们大脑的负担，让我们的大脑去想更加复杂的问题.也有可能是我们平时在草稿纸上演算就不注意整洁，乱七八糟，缺乏规范化的训练，于是算错也就成了一件“很正常”的事了.
⑷写错（书写出错）：比如，明明是大于号却偏偏写成了小于号，此外还有正负号、小数点、字、词或字母、符号等等的书写出错，这就需要首先从心理上、从思想意识上看清符号（比如：正负号）的有无，准确地记住小数点的位置；另一原因是肌肉记忆出现偏差，解决这一书写出错行为可以采用双人训练的方法，一人快速念，一人快速写，加强肌肉记忆训练.
⑸想错：一个原因是知识掌握得不牢，相似知识点之间发生了混淆，出现判断失误；另一个原因属于想当然失误，即没有注意到题型的条件已经发生了改变，从而落入了出题人设下的陷阱.遇到这样的错误时，一定要冷静，不要轻易下结论，要结合题意和知识点，全方位考虑答题策略.
⑹跳跃：以为自己明白了，或害怕答题速度跟不上，不写出相关步骤，结果发生了错误.首先是要符合答题规范，其次是你明白了，老师不明白，所以关键信息绝对不能跳跃，尤其是在考试中。
⑺没有按要求答题\⑻书写的规范性不够：这两类错误纯属答题的习惯问题，一方面要求学生从小就要培养良好的答题习惯，另一方面，教师在实际的教学过程中加强训练，严格要求.
(二)教师层面的做法
教学中教师也有需要提高的地方，作为一名数学教师，在平时的数学教学中为了降低学生的出错率，提高学生正确解题的能力，可以从以下几点有针对性的去尝试教学，观察是否较以前的教学有所收获.
１.加强学生在学习过程中主体地位的认识.
教师要通过不断地理论学习，明确在新课改宗旨下自己的职责.教师要从数学课堂单一的数学知识传受者的角色，逐步向数学学习活动的组织者、引导者、合作者转换.要蹲下身来看学生，用学生的眼光看世界，和他们一起探讨、思考数学问题，使得教师的教和学生的学真正走向和谐统一.
在新课改的要求下学生在校学数学的目的更重要的是获得自己去探索数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，获得对客观事实尊重的理性精神和对科学执着追求的态度，因此，作为数学学习活动的组织者、引导者、合作者的教师应该引导或帮助学生完成观察、实验、猜想、收集整理、思考、推理与应用等丰富多彩的学习过程.使学生明确自己是学习主体的观念.
２.指导学生掌握科学的学习方法
在教学中发现一些学生学习并不是不认真，而是学习方式方法不当，使其学习效率低，以至于丧失学习的信心.因此应重视学生的学习方法的指导，比如我在七年级数学教学的过程中会指导学生一些常规实用的学习方法“三步曲”：
第一步，上课前先预习：
前一天将第二天要学习的内容先看一遍，在看的过程中标注出有疑问的部分，然后再做一下相应的练习来检查自己的预习情况，最后再带着在看书过程中不明白的地方，做习题时遇到的问题来听课.
第二步，上好一节新课：
首先在上课前利用课间的休息时间把自己放松一下，保持一个最佳的状态去听讲.其次，在课堂上，把自己不理解的地方和老师的讲解紧密的结合起来，并积极思考老师提出的问题.最后，根据老师讲解的重点在课本或者笔记本上作好相应的课堂笔记，便于课后自己复习时使用.
第三步，课后复习巩固
首先，做作业前将本节新课的内容回顾一遍，看看是否还有没掌握的知识点或者不会应用的知识点.然后，根据作业或者练习的完成质量检验上课的课堂听讲效率.
在数学解题的技巧中传授给学生一个解题“四步曲”——“审、想、解、查”.
(1)弄清问题，也就是审题.
(2)解题前三想：审题后，就要拟定解题方案，展开“回想、联想、猜想”，初步构想解题思路，确定解题方向.
(3)解题表述要规范.
(4)检查、验算不可忽视.
３.培养学生良好的学习习惯.
对于学生的不良习惯，教师应该从学生在七年级开始学习时就要提出严格要求，防患于然.
首先要培养学生认真审题的习惯.
认真审题就是看清题目的要求，弄清题目的计算理论、运算顺序.解题时，部分学生注意力不集中，马马虎虎，不能集中精力进行审题、运算，不是少了条件，就是丢了单位，这是导致学生“会算而算不对”的原因.审题时只要认真、仔细，排除外界干扰，注意力专注于解题，错误率就会大大降低.初中生的自知力、自控力普遍较差，还没有形成好的思维习惯，所以，在平时的教学中要强化学生养成认真仔细的习惯.反复强调仔细审题、仔细解答.使学生形成良好的思维状态，养成严谨周密的思考习惯，养成步步有根据的习惯，这样可以解决“条件看错而出错”的问题.
其次，培养学生检查、验算的习惯.
在平时的教学中要求学生做作业时集中注意力，书写整齐清晰，题目抄写后要复查一遍，看数字和运算符号有没有抄错.此外，还要求学生在草稿纸上计算时应有顺序地进行书写、书写要清晰，这有利于检查时的寻找.运算后应该认真验算等等.像一元一次方程和二元一次方程组都可以把解得的答案带入原方程（方程组）进行检验.学生在养成良好的检查、验算习惯后，计算的准确性就能大大提高.
五、课题研究的总结与分析
本课题立项后，我们课题小组便已经开展了一系列的相关研究.现将一年以来的相关情况作如下小结：
依据领导和专家的建议和实际情况，我们将研究的范围缩小为人教版数学课程的七年级上下两册，一学年过去了，这段时间我们主要研究的错题范围涉及：有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形初步、相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组和不等式与不等式组.
按照课题的进展，我们主要从以下几个方面实施的：
收集错题——整理错题——分析错题——解决策略——资源库.
通过研究，我们认为：
1.在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景，不同的表达方式和参差不齐的思维水平，出错在所难免.让学生在辨析错误的同时激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对数学知识本质的理解的目的.特别像我们东方红学校，地处油田与潜江的城乡结合部，学生知识水平差异大，研究错题很有必要.
２.在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的，而练习过程中发生的错误并非是一文不值的，它往往反映了学生的思维能力，反映了学生的真实想法，这其中总会包含着合理的成分.教师应该善于巧用错误，善于发现错误背后隐藏的教育价值，引领学生从错中找出合理的一面，从错中找出与正确方法之间的联系，把“错误”资源巧妙地予以运用，不仅能让学生尽快走出误区，并能激发学生的创新思维.
3.为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误以及错误产生的原因，矫正的对策进行搜集、整理、记录.可以通过多种形式进行对比练习，让学生辨析提高.而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成记纠错日记的习惯.
研究的不足之处和期望：
我们课题组第一次接触到微型课题，不好把握度，并且，我们的研究成员大都是第一次开展课题研究，青年教师的理论知识积累还不是很充足.另外，在错题的收集与整理的过程中，虽然我们做了大量的工作，但是日常的教学任务都比较重，可能会存在不全的情况，由于我们的研究范围是七年级，虽然课题结题了，八年级与九年级的数学内容还是很有潜力可挖的.作为一线教师，我们不要因为课题的结束就放弃研究了，路漫漫其修远兮，希望后面的内容能得以继续完成下去.
解一元一次方程易错题案例分析
东方红学校课题组 邓 露
一元一次方程的解法
重点：等式的性质，同类项的概念及正确合并同类项，各种情形的一元一次方程的解法；
难点：准确运用等式的性质进行方程同解变形(即进行移项，去分母，去括号，系数化1等步骤的符号问题，遗漏问题)；
学习要点评述：对初学的同学来讲，解一元一次方程的方法很容易掌握，每个题都感觉会做，但就是不能保证全对.从而在学习时一方面要反复关注方程变形的法则依据，用法则指导变形步骤，另一方面还需不断关注易错点和追求计算过程的简捷.下面列举三个案例进行分析总结.
【案例1】 解方程：4x-3（4-x）=2；
学生错误呈现：
生1： 4x-12-3x=2
x=14
生2： 4x-12+x=2
5x=14
生3： 4x-12-x=2
3x=14
x=
错因分析：生1去括号时有一项没有变号.对去括号法则不熟悉.生2去括号时漏乘了一项，乘法分配律掌握不熟.生3去括号时既没有变号还漏乘了一项.
教师的实施策略：括号前面是“-”号时，括号内的各项的符号都要变.括号前面有系数时，去括号不漏乘每一项.
【案例2】 解方程：
学生错误呈现：
生1：
生2：
生3
错因分析：生1在去分母时，第二项没有添括号；生2在去分母时，方程右边漏乘了最小公分母2.生3在去分母时，同时犯了生1和生2的错误，系数化1时，除数和被除数位置颠倒.
教师的实施措施：去分母时，首先要注意要乘以方程两边的每一项，不能有分母的乘，没有分母的就忘记乘.去分母后，分子是多项式时，特别前面是“-”号时，应添括号，再去括号，以免发生符号错误.系数化1时，系数应做分母.
【案例3】解方程：
学生错误呈现：
生1： 生２：
生3：
错因分析：生1把小数化为整数时，分子中x系数没有扩大10倍；生2把分数性质与等式性质混淆；生3同时犯了生1和生2的错误.
教师的实施措施：这是一道分母含有小数的一元一次方程，首先要考虑把小数化为整数，其依据就是分数性质“分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变”.这种变形只保证分数同质变形，千万不要与等式性质2搞混.
总结：解一元一次方程的一般步骤、具体做法及注意事项：
典 型 错 题 汇 编
第一章 有理数
东方红学校课题组 邓 露 邹成霞
一、选择题
１.下列说法正确的是（ ）
A．一个整数不是正整数，就是负整数
B．一个有理数不是正数，就是负数
C．非正数是指负数
D．不是有理数
错解：A或B或C
误区分析：整数包括正整数，0，负整数，A说法中漏了0，故A错.有理数包括正有理数和负有理数，0，也漏了0，所以B错.非正数包括负数和0，所以C错.是无限不循环小数，所以不是分数，也不是有理数.
正解：D
2.下列语句：⑴数轴上的点只能表示整数. ⑵数轴是一条线段. ⑶ 数轴上的一个点只能表示一个数. ⑷数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点.⑸ 数轴上的点所表示的数都是有理数. 其中正确的是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D 4.个
错解：B或C或D
误区分析：结合数轴上的点与有理数的关系来分析判断：⑴⑵是错误的. ⑶是正确的⑷既不是正数，又不是负数的数是0，0在数轴上用原点表示.⑸应该是所有的有理数都可以在数轴上找到相应的点，但并非数轴上的点都表示有理数，这一点易误解.
正解：A
3.已知a =-5,,则b的值等于（ ）
A. 5 B.-5 C. 0 D. ±5
错解：B
误区分析：上述错解的原因是错误的认为由推出的结果是a=b.事实上由，可得到b=±a .
正解：D
4.已知，则a的值是（ ）
A.正数 B.负数 C.非正数 D. 非负数
错解：B
误区分析：错解的原因是漏掉了“0”这个特殊数.因为当a＞0时；当a﹤0时；当a=0时， .
正解：C
5.两个有理数相加，其和（ ）
A.一定大于其中一个加数 B.不可能是0
C.可以是正数，负数或0 D.只可能是整数和0
错解：B
误区分析：错解的原因是小学学习造成了思维定势和对有理数加法法则理解不透彻，数的范围扩大到有理数后，当两个加数都是负数或其中一个是0时，两个数的和不一定大于没一个加数.
正解：C
6.某市2012年财政收入已突破500亿元大关，用科学记数法可表示为（ ）A.元 B.元 C.元 D.元
错解：B或C或D
误区分析：对a的取值范围不熟练，应由原数化成带一位整数的a；定n，由原数带n位正数部分定.
正解：A
二、填空题
1.如果规定向东走30米记为+30，那么-20表示（ ）
错解：向西走-20米
误区分析：没有正确理解负数的意义. 注意:数前的“+”“-”表示方向“相同”或“相反”，“20”表示走的距离.错解中既将“-”翻译成“向西”，又将“-”抄写了下来，导致错误.
正解：向西走20米
2.绝对值等于本身的数是（ ），绝对值大于1且小于5的所有整数是（ ）
错解：正数 2，3，4
误区分析：对概念认识模糊以及小学学习造成了思维定势.
正解：非负数 ±2，±3，±4
三、解答题
1.计算
错解：原式=
=
=
误区分析：错解主要是没有利用运算律，使得计算复杂，导致错误.
正解：原式= +
= 1+（—1）+0
= 0
2.计算
错解：原式=
=
=
误区分析：错解是随意省略运算符号.将减法统一成加法时，需慎重对待符号的变化.
正解：原式=
= -7-3
= - 10
3.计算
错解1：原式=
= 20-24
= -58
错解2：原式=
=-14+20+1
= 7
误区分析：错解1 计算过程出现符号错误，错解2 漏乘.
正解：原式=
= -14+20+24
=30
4．计算
错解：原式=
= -1+
=
误区分析：错解原因，除法没有分配律.
正解：原式=
=
= -3
5.计算
错解：原式=
=8
= 24
误区分析：在计算时，误认为 =.
正解：原式=
= -8
第二章 整式的加减
一、选择题.
１.下列各组单项式中是同类项的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D. a与c
错解：A或B或D
误区分析：对同类项概念不熟练.A中虽所含字母相同，但a的指数不同；B也是相同字母的指数不相同；D所含字母不相同.
正解：C
２.多项式的次数及最高次项的系数分别是（ ）
A. 2，1 B. 2，-1 C. 3，-1 D. 5，-1
错解：A或B或D
误区分析：对多项式的次数概念模糊.多项式的次数是多项式中最高次项的次数，即的次数.
正解：C
二、填空题
１.单项式的系数是 ，次数是 .
错解：系数-3，次数3+1+5=9
误区分析：误把的指数3当作是单项式的次数，实际上是一个具体的数，是单项式的系数.
正解：系数，次数 6
2.多项式的各项系数之和为 .
错解：3+2+5+2=12
误区分析：漏掉了的负号.
正解：3-2-5+2=-2
3.是 次 项式，三项式是
错解：六次三项式，三次项是
误区分析：误将所有字母的指数和作为多项式的次数，且把的符号漏掉了.
正解：三次三项式，三次项是
三、解答题
1．化简多项式
错解：原式=
=
误区分析:去括号时只改变项的符号，而没有改变x项的符号.
正解：原式=
=
2.已知一个多项式与的和等于，求这个多项式.
错解：
误区分析：本题实质是要求这两个多项式的差，列算式时没有用括号把两个多项式括起来而导致错误.
第三章 一元一次方程
一、对数学概念认识模糊而出现列式错误.
1.下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
错解: C 正解: B
错因分析: 判断一元一次方程的三个条件：1.只含一个未知数；2.未知数指数是1；3.等号两边都是整式，C项左边不是整式是分式.由条件3得C项不是一元一次方程.
2.已知(m-4)x|m|-3=18是关于x的一元一次方程，则（ ）
A. m=4 B. m=-4 C. m=±4 D. m=1
错解: C 正解: B
错因分析:判断一元一次方程的三个条件：1.只含一个未知数；2.未知数指数是1；3.未知数系数不为0.由条件2得：|m|−3＝1，解得m=±4.由条件3得必须m−4≠0，即m≠4，所以应将m=4舍去.
3.下列等式根据等式的性质变形正确的有（ ）
①若a=b，则ac=bc；②若ac=bc，则a=b；③若a=b，则；④若，则a=b；⑤若a=b，则.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
错解:B或D 正解:C
错因分析:对等式的性质二理解不够，特别是保证除以同一个不为0的数.
①做的变形是等式两边同乘以了c，满足等式的性质2，故正确；
②做的变形是等式两边同除以了c，但无法保证c不为0，故错误；
③同②，故错误；
④同①，故正确；
⑤做的变形是等式两边同除以了，而恒大于0，故正确.
二、在解一元一次方程时，不能按步骤正确变形.
4.解方程：4x-3（4-x）=2；
错解: 4x-12-x=2
3x=14
x=
错因分析:去括号时漏乘了一项，同时括号前面是“-”号，括号内的各项的符号都要变.对去括号法则不熟悉.
正解 4x-12+3x=2
7x=14
x=2
5.解方程：
错解:
错因分析:在去分母时，方程两边应同乘以2，要注意要乘以方程两边的每一项，不能有分母的乘，没有分母的就忘记乘.
正解：
6. 解方程：
错解:
错因分析:这是一道分母含有小数的一元一次方程，首先要考虑把小数化为整数，其依据就是分数性质“分数的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变”.这种变形只保证分数同质变形，千万不要与等式性质二搞混.
正解:
三、解应用题时，读题、审题不畅通，不能准确找出等量关系；列方程时，忽略单位统一.
7.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由．
错解: 能够求出火车长度.设火车长度为x m，依题意得，解得x=150.
答：火车长150m.
错因分析: 抓对了等量关系：“匀速行驶”，即火车对于灯光的速度=火车穿越隧道的速度，但错误理解了穿越隧道的路程，其路程应为：车头进入隧道口到车尾离开另一隧道口，即火车长+隧道长.
正解: 设火车长度为x m，依题意得，解得x=300
答：火车长300m.
8. 某道路一侧原有路灯106盏，相邻两灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）
A．54盏 B．55盏 C．56盏 D．57盏
错解: A
错因分析:抓对了等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，但是忽略了106盏灯只有105段距离，x盏灯只有（x-1）段距离.
正解:B
解：设需更换的新型节能灯有x盏，则
70×（x-1）=36×（106-1），
70x=3850，
x=55，
则需更换的新型节能灯有55盏．
故选B．
9.销售某件商品可获利30元，若打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是 元．
错解: 200
错因分析: 对于原售价，新售价，进价之间的关系混淆不清.本题的等量关系为：原售价的9折=新售价，而原售价=30+进价，新售价=30+进价-10．
正解: 70.解：设该商品的进价是x元，则（30+x）×0.9=30+x-10
解得x=70，则该商品的进价是70元．
10.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
错解:B或者D
错因分析:本题的等量关系为：平时的时间不变.比平时早到10分钟，应理解为比平时少用10分钟，要表示平时时间应该用所花时间+10分钟；比平时晚到5分钟，应理解为比平时多用了5分钟，要表示平时时间应用所花时间－5分钟；另外要注意单位的统一，把时间单位化为小时.
正解:A
11.两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ）
A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．盈利3元 D．不赢不亏
错解:A
错因分析:售价和成本之间关系不清.成本×（1±利润率）=售价.本题已知售价为84元，要求利润，必须先求出两件商品的成本价.设两件商品的成本价分别为x，y元，可列方程为（1-20％）x=84，（1+40％）y=84，解得x=105，y=60；则利润=总售价-总成本价=84×2-（105+60）=3元，故盈利3元.
正解: C
第四章 几何图形初步
1.如图，在直线AB上取两点P、Q，问图中有几条直线？几条射线？几条线段？
错解：2条直线；4条射线；3条线段.
错因分析：（1）一条直线可以用这条直线上的任意两个点来表示，与点的选择和点的顺序无关.因此图中只有一条直线；（2）射线是有一个端点，并向一方无限延展的；图中以点A为端点有两条射线，同样以P、Q、B点为端点的射线各有两条，因此共有8条射线，其中可以用字母表示出来的有6条；（3）线段有遗漏，以A为左端点的线段有线段AP,AQ,AB，同样以P、Q为左端点的线段分别有2条和1条，因此共有3+2+1=6条.一般来说，如果一条直线上有n个点，其中有线段（n-1）+（n-2）+……+3+2+1=条
正解：1条直线；8条射线；6条线段.
2.同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ）
A．1条 B．4条 C．6条 D．1条或4条或6条
错解：C
错因分析：没有全面分析平面上四点的位置特点.同一平面内的四个点，可以是在同一直线上，可以三点在一条直线上，也可以是任意三点不在同一条直线上.
解：根据题意可以分为三种情况：
①四点在同一直线上：则只能做一条直线；
②其中三点在同一直线上：如图
可以作出4条直线；
③任意三点都不在一条直线上：如图
即可作出6条．
综上可以得出可以为1条，可以是4条，可以是6条．
正解：D
3. 已知线段AB=5，C是直线AB上一点，BC=2，则线段AC长为（ ）
A.7 B.3 C.3或7 D.以上都不对
错解：B
错因分析：错以为C是线段AB上一点.C在直线AB上应分：在线段AB上或在线段AB延长线上两种情况讨论．
解：当点C在线段AB上时：AC=5-2=3；当C在AB的延长线上时：AC=5+2=7．
正解：C
4.下列四种说法：①因为AM=MB，所以M是AB中点；②在线段AM的延长线上取一点B，如果AB=2AM，那么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以AM=MB=AB；④因为A、M、B在同一条直线上，且AM=BM，所以M是AB中点，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．④ C．②③④ D．③④
错解：A
错因分析：本题考查了线段中点的判断，符合线段中点的条件：①在已知线段上②把已知线段分成两条相等线段的点．①选项不能保证满足A、B、M三点共线，如图，AM=BM，但M不是线段AB的中点；故本选项错误；
②如图，
由AB=2AM，得AM=MB；故本选项正确；
③根据线段中点的定义判断，故本选项正确；
④根据线段中点的定义判断，故本选项正确；
正解：C
5.下列说法：
（1）平角是一条直线；（2）射线是直线的一半；（3）射线AB与射线BA表示同一条射线；（4）用一个放大2倍的放大镜去看一个角，这个角会扩大2倍；（5）两点之间，线段最短；（6）120.5°=120°50′．其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
错解：C或D
错因分析：对基本概念模糊.根据角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，因此（1）错误；射线与直线都没有长度，因此（2）错误；射线AB与射线BA端点不同，因此（3）错误；角的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的角度有关，因此（4）错误；度、分、秒是常用的角的度量单位．
1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″，因此（6）错误，应该是120°30′.只有（5）正确.
正解：B
6.已知线段AB=20cm，PA+PB=30cm，下列说法正确的是（ ）
(A)点P不能在直线AB上
(B)点P只能在直线AB上
(C)点P只能在线段AB的延长线上
(D)点P不能在线段AB上
错解：A或C
错因分析：对P点所有存在的位置考虑不全面.应对P点的位置进行分类讨论，分点P在线段AB上，直线AB外，以及线段BA的延长线，线段AB的延长线上.
点P在线段AB上时，PA+PB=AB=20cm，
∵PA+PB=30cm，
∴点P不能在线段AB上；
点P在直线AB外，一定能找到AB=20cm，PA+PB=30cm的点P；
点P在线段BA的延长线上，如图1，若PA=5cm，则
PB=AB+PA=25cm，
所以，PA+PB=5+25=30cm；
点P在线段AB的延长线上，如图2，若PB=5cm，则
PA=AB+PB=20+5=25cm，
所以，PA+PB=25+5=30cm．
综上所述，点P可以在线段AB的延长线上，BA的延长线上，直线AB外，不能在线段AB上．
正解：D
7.以下四个语句中，正确的有（ ）
①如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点；
②两点之间直线最短；
③大于直角的角是钝角；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
错解：B或C或D
错因分析：对概念理解不清.①说法错误，必须说明A、B、C三点共线时；
②说法错误，应是两点之间线段最短；
③说法错误，应该是大于直角小于平角的角是钝角；
④说法错误，以B为顶点的角不是一个，故不能用∠B表示，
正解：A．
8.在8：30时，时钟的时针与分针的夹角为 度．
错解：60
错因分析：当分针转动时，时针也是在不断转动的，也就是说，8:30时，分针是指向6时的，但时针不是指向8时的，而应该指在8时与9时之间；时针每分钟转动0.5°，时针走了30分针，所以时针转动0.5°×30=15°，因此时针与分针的夹角为60°+15°=75°.
正解：75
9.如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共有 个角；如果引出5条射线，有 个角；如果引出n条射线，有 个角．
错因分析：找不到规律，出现漏数或者重复数的错误解答.
∵在锐角∠AOE内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；
在锐角∠AOE内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；
在锐角∠AOE内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+…+（n+1）=
正解：10；21；
10.如果∠AOB=34°,∠BOC=18°,那么∠AOC的度数是
错解：52°；16°
错因分析：没有分情况讨论,出现漏解的情况.应分为①当∠BOC在∠AOB内部，②当∠BOC在∠AOB外部两种情况.
① 如图1,∠AOC=∠AOB-∠BOC=34°-18°=16°；
②如图2,∠AOC=∠AOB+∠BOC=34°+18°=52°，
正解：52°或16°
11.一个正方体六个面上分别写着“东”、“海”、“实”、“验”、“学”、“校”，如图是这个正方体的三种不同的摆法，则与“东”、“海”、“实”所在面相对的面上的字分别是 .
错解：验，学，校
错因分析：缺乏空间想象能力，片面地只看一个图形就下结论.从前2个图形看，和东相邻的有海、实、学、校，那么和东相对的就是验．从第2个图形和第3个图形看，和校相邻的有东、实、验、学，那么和校相对的就是海．则和实相对的就是学．故与“东”、“海”、“实”所在面相对的面上的字分别是：验，校，学．
正解：验，校，学．
12.下图都是由边长为1的正方体叠成的图形：
第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，依此规律．则第（5）个图形的表面积_________个平方单位．
错因分析：找不到一般规律，逐个数的时候出现遗漏或者重复的情况.结合图形，发现：①中，图形的表面积是1×6=6；②中，图形的表面积是（1+2）×6=18；③中，图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解．第⑤个图形的表面积是（1+2+3+4+5）×6=90．发现：第n个图形的表面积是（1+2+…+n）×6=3n×（n+1）．
正解：90
13.如图是一个由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中的小正方体共有 个.
错解：9
错因分析：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．学生考虑不全面出现漏解得情况.如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．从主视图上看：这堆立体图形中的小正方体共有3层，从俯视图上看：这堆立体图形中第一层有6个小正方体，从左视图上看：这堆立体图形第二层有2个或3个小正方体，第三层只有1个小正方体，∴这堆立体图形中的小正方体共有：6+3+1=10或6+2+1=9，
正解：9或10
14.如图，∠AOB是直角，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小．
（2）当∠AOC=α时，∠MON等于多少度？
（3）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小会发生改变吗？为什么？
错因分析：本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义，准确识图根据∠MON=∠COM-∠CON表示出∠MON是解题的关键．对于（2）（3）问大部分学生根据∠MON=∠MOA+∠NOA从而无法利用角平分线性质求解.（1）先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM、∠CON，然后根据∠MON=∠COM-∠CON代入数据进行计算即可得解；
（2）把50°换为α，根据（1）的计算求解即可；
（3）根据（2）的计算结果解答．
正解：解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=×140°=70°，
∠CON=∠AOC=×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°-25°
=45°；
（2）当∠AOC=α时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=（90°+α），
∠CON=∠AOC=α，
∴∠MON=∠COM-∠CON=（90°+α）-α=45°；
（3）不会发生变化，
由（2）∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半．
第五章 相交线与平行线
一、选择题
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
错解：A或B或C
正解：D
误区分析：对对顶角的定义不熟练．本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．
2.如图，∠1与∠2是同位角，若∠2=65°，则∠1的大小是（ ）
A．25° B．65° C．115° D．不能确定
错解：A或B或C
正解：D
误区分析：两直线平行同位角相等，如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系．由图形可得，不能确定直线m和直线n平行，故不能确定∠1的大小．故选D．
3.有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
错解：B或C或D
正解：A
误区分析：①忽略了两条直线必须是平行线，故①错误；②两点之间，线段最短是公理，故②正确；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角，故③错误；
④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故④错误．⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B． 等角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．故⑤正确．
故正确的有②⑤．故选：A．
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．垂线最短
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．相等的角一定是对顶角
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
错解：A或C或D
正解：B
误区分析：A、垂线是一条直线，没有长度，故本选项错误；B、过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知平行，故本选项正确；C、平行线中，同位角相等，但不是对顶角，故本选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项错误；
故选B．
解答：解：A、∵在同一平面内，两直线的位置关系是平行、相交，2种，
5.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等且互补
错解：A或B或D
正解：C
误区分析：本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，
∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；
∠3+∠2=180°
∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°．
∴这两个角相等或互补．
故选C．
二、填空题
1．如图，直线AB∥CD，∠E=30°，∠C=40°，则∠A等于（ ）
错解：40°或30°或其他
正解：70°
误区分析：根据三角形的外角性质求出∠EFD，根据平行线的性质得出∠A=∠EFD，代入即可．
解：∵∠E=30°，∠C=40°，
∴∠EFD=∠E+∠C=70°，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠EFD=70°.
2.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到
△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），则∠BA′A
的度数45是（ ）
错解：90°，135°或其他
正解：45°
误区分析：根据题意，画出图形，由平移的性质求得结果．
如图所示，平移后AA′=3，而过点B向AA′引垂线，垂足为D，∴BD=4，A′D=4，∴∠BA′A=45°．∴BD=4，A′D=4，
∴∠BA′A=45°．
本题考查平移的基本性质．经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想．
三、解答题
１.如图AB∥CD，CE交AB于点A，AD⊥AC于点A，若∠1=48°，求∠2
错解：48°或其他
正解：42°42
误区分析：先根据平行线的性质求出
4∠C的度数，再由直角三角形的性质即可得出
∠2的度数．∵AB∥CD，∠1=48°，
∴∠C=∠1=48°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠2=90°-∠C=90°-48°=42°．
故答案为；42．
２.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行？
错解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，
∵∠3=∠4，∴AB∥CD
误区分析：内错角定义不熟练，且本题考查了平行线的判定，准确判断出形成角的截线与被截线是解题的关键．
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，
故可以判定AB∥CD，AD∥BC．
第六章 实数
一、选择题.
1.下列各数：，π， ，0，，其中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解：A或C或D
正解：B
误区分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．=2，由此即可判定选择项．π和，是无理数．故选：B．
2.下列判断中，错误的是（ ）
A．-1的平方根是±1 B．-1的倒数是-1
C．-1的绝对值是1 D．-1的平方的相反数是-1
错解：B或C或D
正解：A
误区分析：A、负数没有平方根，故A说法不正确； B、-1的倒数是-1，故选项正；
C、-1的绝对值是1，故选项正确；D、-1的平方的相反数是-1，故选项正确．故选A．
3.在下列说法中：①10的平方根是±；②-2是4的一个平方根；③的平方根是；④0.01的算术平方根是0.1；⑤=±a2，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
错解：A或B或D
正解：C
误区分析：根据平方根和算术平方根的概念，一定记住：一个正数的平方根有两个它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根
①10的平方根是±，正确；②-2是4的一个平方根，正确；③的平方根是±，错误；④0.01的算术平方根是0.1，正确；⑤=a2，⑤错误；
正确的是①②④；故选C．
4.已知=7.35，则0.005403的算术平方根是（ ）
A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735
错解：A或C或D
正解：B
误区分析：由于所求已知数0.005403的小数点比54.03向左移动了四位，那么则它的平方根就向左移动两位，由此即可得到结果,0.005403的算术平方根是0.0735．
故选B．
点评：此题主要考查了算术平方根的定义和性质，解题关键是小数点的位置，这个数的小数点向左移动了四位．则它的平方根就向左移动两位．
二、填空题
1.的算术平方根为（ ）
错解：2
正解：
误区分析：此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道=2，实际上这个题是求2的算术平方根．注意这里的双重概念．
2.设5-的整数部分为a，小数部分为b，则2-b的值为（ ）
错解：1.732
正解：
误区分析：错解是将取了近似值1.732，而实际上应该是根据的大小，可估算5-的整数部分为a=3，小数部分为b=5--3=2-，可得答案为2-（2-）=
三、解答题
1、计算（1）+（2）-22+-
错解：（1）原式=-2-4=-6
（2）原式=-4+4-2=-2
正解：（1）原式=2-4=-2
（2）原式=-4+4+2=2
误区分析：实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用平方根，立方根，化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用平方根，立方根以及乘方的意义计算即可得到结果．
2．已知9x2-16=0，求的值．
错解：∵9x2-16=0
∴x=
∴=
正解：∵9x2-16=0
∴x=
∴=
或∴=6
误区分析：化简，开方时要注意正数有两个平方根
3 若+ =0，求的平方根．
错解：∵+ =0
∴ a-b-7=0，2a+b-8=0
∴ a=5,b=-2
∴=5
正解：∵+ =0
且 0， 0
∴ a-b-7=0，2a+b-8=0
∴ a=5,b=-2
∴=5
∴的平方根=
误区分析：没有强调非负性，并且对于平方根，算数平方根及其符号表示不熟练.
第七章 平面直角坐标系
1.求点P（m，-n）与两坐标轴的距离为（ ）
A.到x轴距离为m,到y轴距离为-n
B.到x轴距离为-n,到y轴距离为m
C.到x轴距离为|m|,到y轴距离为|-n|
D.到x轴距离为|-n|,到y轴距离为|m|
错解：B或C
错因分析：距离为长度即为非负数，由于题中坐标中出现的m与-n并未指明正、负，故应用“||”表示距离.由坐标的概念，P点到x轴的距离应等于它的纵坐标的绝对值；P点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值.
正解：D
2.若点P到x轴、y轴的距离分别为2和5，则点P的坐标为
错解：（2,5）或者（5,2）
错因分析：对点的坐标的几何意义理解不清.点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.
正解：（5,2）或（-5,2）或（5，-2）或（-5，-2）
3.在坐标平面内，有一点P（a，b），若ab=0，则P点的位置在（ ）
A．原点 B. x轴上 C. y轴上 D. 坐标轴上
错解：A
错因分析：只考虑了a=b=0的情况.
∵ab=0，∴a=0或b=0或a=b=0
（1）当a=0时，横坐标是0，点在y轴上；
（2）当b=0时，纵坐标是0，点在x轴上;
（3）当a=b=0时，点在原点.
故点P在坐标轴上．
正解：D
4.已知点M（3，-2），它与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN=4，那么点N的坐标是
错解：(7,-2)
错因分析：根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点N的纵坐标，再分点N在点M的左边与右边两种情况讨论．
∵点M（3，-2），MN∥x轴，∴点N的纵坐标y=-2，
点N在点M的左边时，点N的横坐标为3-4=-1，
点N在点M的右边时，点N的横坐标为3+4=7，
所以，点N的坐标为(7,-2)或(-1,-2).
正解：(7,-2)或(-1,-2)
5.已知点A（4，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标
错解：（5,2）
错因分析：考虑不全面，出现漏解的情况.如图，第四个顶点可能为：D1（5，2），D2（-5，2），D3（3，-2）.
正解：（5，2）或（-5，2）或（3，-2）
6.已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是
错解：4（或8）
错因分析：需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，
那么5×|OA|÷2=10，解得：OA=4，所以a=4或a=-4．
正解 4或-4
7.已知点P（2-a，3a-2）到两坐标轴的距离相等，P点坐标为 .
错解:（1,1）
错因分析:到两坐标轴的距离相等，则点P的横、纵坐标的绝对值相等，即|2-a|=|3a-2|∴2-a=±（3a-2），∴a=1或a=0，∴P点坐标为（1，1）或（2，-2）．
正解:（1，1）或（2，-2）
8.已知点P(1-2m，m-1)，则不论m取什么值，该P点必不在( )
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
错解:B或C
错因分析:此题很多学生无从下手，需分情况讨论：
①1-2m＞0时，m＜，此时m-1＜0，所以，点P在第四象限;
②1-2m＜0时，m＞，此时m-1既可以是正数，也可以是负数，
所以，点P可以在第二、三象限，
综上所述，P点必不在第一象限.
正解: A
第八章 二元一次方程组
1.已知方程组：① ，② ，③ ，④ ，正确的说法是（ ）
A.只有①③是二元一次方程组；
B.只有③④是二元一次方程组；
C.只有①④是二元一次方程组；
D.只有②不是二元一次方程组.
错解：A或C
错因分析：方程组①④是二元一次方程组，符合定义，方程组③是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组.
正解：D
2.用加减法解方程组 .
错解：①－②得-y=2，所以y=-2，把y=-2代入①，得，解得 .所以原方程组的解是.
错因分析：在加减消元时弄错了符号而导致错误.
正解：①－②得9y=2，所以，把代入①，得，解得 .所以原方程组的解是 .
3.利用加减法解方程组.
错解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得. 所以原方程组的解是.
错解解析：在①×2＋②这一过程中只把①左边各项都分别与2相乘了，而忽略了等号右边的常数项4.
正解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得. 所以原方程组的解是.
4.两个车间，按计划每月工生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120％，第二车间完成计划的115％，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？若设两车间上个月各生产微型电机x台和y台，则列方程组为（ ）.
A. B. ；
C. D.
错解：B或D
错因分析：错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第一
车间实际生产台数＋第二车间实际生产台数＝798台；（2）第一车间计划生产台数＋第二车间计划生产台数＝680台.
正解：C
5.某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？
错解：设晚会上男生有x人，女生有y人.
根据题意，得
把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.
所以答:晚会上男生3人，女生5人.
错因分析：本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.
正解：设晚会上男生有x人，女生有y人.
根据题意，得
把③代入④,得
x=［2（x-1）-1-1］，解得x=12.
把x=12代入④，得y=21.
所以
答：晚会上男生12人，女生21人.
6.已知关于的方程组和的解相同,求的值.
错解：无从下手
错因分析： 关于的方程组和的解相同表明两个方程组中的4个方程有一个公共解,这个解可由解方程组得出为,再把代入可得到关于的方程组,解之可得.
正解：联立解得,
把代入得,
解之可得.
第九章 不等式与不等式组
1.如果关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜，则关于x的不等式ax＞b的解集为 .
错解： x>
错因分析：忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反;对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围.
正解：x<
依题意得：，解得.所以ax>b的解集为x<.
2.若不等式组无解，求a的取值范围 .
错解：a>3
错因分析：此题错在没有考虑待定字母的取值范围时的特殊情况，即a=3时，有x3及x>3两种情况，而此时不等式也是无解的.
正解：
由得，又因为原不等式无解，所以.
3.已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围 .
错解：（或a=-3）
错因分析：错在忽视了a有一定限制，a的取值范围在-3与-4之间的任一处，其中包括-3但不应包括-4，所以在确定a的取值范围时扩大了解的范围.
正解：
由解得，又因不等式组有5个整数解，所以.又知这5个整数解应分别为-3、-2、-1、0、1，所以a的取值范围是.
4.解不等式.
错解：2x>3(x-2)+2
2x>3x-6+2
2x-3x>-6+2
-x>-4
∴x>4
错因分析：本题首先在去分母时，漏乘了不含分母的项，其次是在最后一步利用不等式性质将系数化为1时，不等式的两边同时乘以（或除以）-1，不等号的方向没有改变.
正解：2x>3(x-2)+12
2x>3x-6+12
2x-3x>-6+12
-x>6
∴x<-6
5.解不等式
错解：
错因分析：在解答时，混淆了分数的基本性质和不等式的性质，在利用分数的基本性质化小数位整数时，错误地将常数项-1乘以了10；在将式中的小数化为整数时，没有根据分数的基本性质将分数中的每一项都同乘以10，漏乘了分子中的-1.
正解：
6.某小店每天需水1m³，而自来水厂每天只供一次水，故需要做一个水箱来存水. 要求水箱是长方体，底面积为0.81 m２，那么高至少为多少米时才够用？（精确到0.1 m）
错解：设高为x m时才够用，根据题意得.由.要精确到0.1，所以.
答：高至少为1.2m时才够用.
错因分析：最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，水箱存水量不得小于1 m³，如果水箱的高为时正好够，少一点就不够了. 故最后取近似值一定要大于，即取近似值时只能入而不能舍.
正解：设高为x m时才够用，根据题意得.由于，而要精确到0.1，所以.
答：水箱的高至少为1.3m时才够用.
课题研究附录:
数学作业订正情况调查表
填写事项说明：同学们，请您诚信填写，每一题选一个序号，不用留姓名和班级，谢谢合作.
（ ）1.你的老师说过订正的重要性吗？
①经常说 ②说起过 ③没说过 ④不知道
（ ）2.你认为订正重要吗？
①挺重要的 ②一般 ③不重要 ④不在乎
（ ）3.你订正的主要方法是什么？
①抄板书 ②上课边听边记
③抄同学笔记 ④课外辅导订正
（ ）4.你会去做错题分析吗?
①经常做分析 ②偶尔去分析 ③不会分析 ④其它
（ ）5.一次订正一般用去你多少时间？
①半小时内 ②半小时到1小时
③1小时到2小时 ④2小时以上
（ ）6.如果订正的题目由你自己挑选，主要选什么类型？
①选择题 ②解答题 ③填空题 ④三者皆有
（ ）7.若满分10分，你给自己的数学学习状态打几分？
①6分以下 ②6～7分 ③8～9分 ④10分
（ ）8.你觉得数学成绩还有多大的提升空间？
①很大 ②有，但不是很多 ③非常有限 ④没有
（ ）9.你的作业订正情况是怎样？
①全部订正 ②大部分订正 ③一小部分订正 ④不订正
（ ）10.数学作业不订正原因是什么？
①不懂如何订正 ②偷懒不想订正
③教师不检查 ④觉得没意义
③教师不检查 ④觉得没意义
①不懂如何订正 ②偷懒不想订正